高等数学笔记-乐经良老师-第七章-向量代数与空间解析几何（Ⅱ）

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于 2022-04-26 16:30:34 首次发布

高等数学笔记-乐经良老师

第七章向量代数与空间解析几何（Ⅱ）

第四节平面与直线

一、平面

01 确定平面方程的条件

一个平面上的点 + 一个法向量
一个平面上的点 + 两个平行于平面的不共线向量
三个不同的平面上的点

02 平面的方程

(1) 平面的点法式方程

设平面 $π\pi$ 过点 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，且其法向量为 $(A,B,C)\vec{n}\ (A, B, C)$

$\begin{aligned} & M(x, y, z) \in \pi\Longleftrightarrow \overrightarrow{M_{0} M} \perp \vec{n}\Longleftrightarrow \overrightarrow{M_{0} M} \cdot \vec{n}=0\\ & \Longleftrightarrow A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \quad点法式方程 \end{aligned}$
向量形式： $n⃗⋅(r⃗−r0→)=0\vec{n} \cdot\left(\vec{r}-\overrightarrow{r_{0}}\right)=0$ ， $r0→,r⃗\overrightarrow{r_{0}}, \vec{r}$ ： $M_{0}, M$ 的定位向量。

(2) 平面的一般方程

三元一次方程一定是平面方程。
$\quad$ 一般方程
问题：系数 $A, B, C, D$ 有些为零时平面的特点？

(3) 平面的标准方程

设平面 $π\pi$ 过点 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，且其平行于两个不共线的向量 $u⃗=(u1,u2,u3),v⃗=(v1,v2,v3)\vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$

$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right|=0 \quad 标准方程 \end{aligned}$

(4) 平面的三点式方程

空间中不共线三点 $P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ , $P3(x3,y3,z3)P_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$ 的平面方程为：
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 \quad 三点式方程$

(5) 平面的截距式方程

平面在三坐标轴上的截矩分别为 $a, b, c$ $\neq 0)$ ，则平面方程为：
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \quad 截距式方程$

二、直线

01 确定直线方程的条件

一个直线上的点 + 一个直线的方向向量
两个直线上的不重合的点
通过这条直线的两个不重合的平面

02 直线的方程

(1) 直线的标准方程

设直线 $l$ 过点 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 且平行于非零向量 $s⃗=(m,n,p)\vec{s}=(m, n, p)$ (称为直线的方向向量)

$\begin{aligned} & M(x, y, z) \in l\Longleftrightarrow\overrightarrow{M_{0} M} / / \vec{s} \Longleftrightarrow \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \quad 标准方程\\ & 分式分母为零时，意味着其分子也为零 \end{aligned}$
向量形式： $r⃗=r0→+ts→\vec{r}=\overrightarrow{r_{0}}+\overrightarrow{t s}$ ， $r0→,r⃗\overrightarrow{r_{0}}, \vec{r}$ ：$ M_{0}, M$ 的定位向量。

(2) 直线的参数方程

$\begin{aligned} & 设空间中某直线的标准方程为\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \\ & \Longrightarrow \ \left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+t m \\ y=y_{0}+t n \\ z=z_{0}+t p \end{array}\right.\quad参数方程\\ \end{aligned}$

(3) 直线的一般方程（两平面的交线）

在这里插入图片描述

$\begin{aligned} & 设两平面的一般方程为\ \left\{\begin{array}{l} A_1 x+B_1 y+_1C z+D_1=0\quad平面1\\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\quad平面2 \end{array}\right.\\ & 联立两平面方程解得两平面的交线。\\ & 满足一般方程的任一点 \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 是直线上点, 直线的方向: \ \left(\left|\begin{array}{ll} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{array}\right|\right) \end{aligned}$

(4) 平面束方程

平面 $π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\pi_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0$

平面 $π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0$

${A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0的交线\ \left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.$

过此交线的平面集合称为平面束，其平面束方程为：

$(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0$

( $λ\lambda$ 是参数，注意方程中不包括 $π2\pi_{2}$ 的方程； $λ→∞\lambda\rightarrow\infty$ ，方程表示的平面无限趋近于 $π2\pi_{2}$ )

三、平面、直线和点的位置关系

01 点到平面的距离

在这里插入图片描述

设 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{z}_{0}\right)$ 是空间一点，平面 $π\pi$ 方程为 $A x + B y + C z + D = 0$
$M_{0}$ 到的 $π\pi$ 距离： $M_{0}$ 到垂足 $M1(x1,y1,z1)M_{1}\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}_{\mathbf{1}}, \mathbf{z}_{\mathbf{1}}\right)$ 间的距离 $d=∥M0M1→∥d=\left\|\overrightarrow{M_{0} M_{1}}\right\|$
$\begin{aligned} &\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M_{1}}\right|=\left| A\left(x_{1}-x_{0}\right)+B\left(y_{1}-y_{0}\right)+C\left(z_{1}-z_0)\right.\right| \\ &\Rightarrow d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \end{aligned}$

02 两平面间的夹角

$π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\pi_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0$

$π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0$

两平面的夹角？法向量间的锐夹角： $θ=min⁡((n1⃗,n2⃗^),π−(n1⃗,n2⃗^))\theta=\min \left(( \hat{\vec{n_{1}} , \vec{n_{2}}} ), \pi-( \hat{\vec{n_{1}} , \vec{n_{2}}} )\right)$

03 两直线的夹角及共面

直线 $l_{1}$ 过点 $M_{1}$ 且方向向量为 $S1→\overrightarrow{S_{1}}$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $M_{2}$ 且方向向量为 $S2→\overrightarrow{S_{2}}$ ，

$ l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为方向向量间的锐夹角： $φ=min⁡((s1⃗,s2⃗^),π−(s1⃗,s2⃗^))\varphi=\min \left(( \hat{\vec{s_{1}} , \vec{s_{2}}} ), \pi-( \hat{\vec{s_{1}} , \vec{s_{2}}} )\right)$

利用混合积： $l_{1}, l_{2}$ 共面 $↔充分必要条件\xleftrightarrow{ 充分必要条件 }$ $[s1→,s2→,M1M2→]=0\left[\overrightarrow{s_{1}}, \overrightarrow{s_{2}}, \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right]=0$

04 直线与平面的夹角

在这里插入图片描述

设直线 $l$ 方向向量为 $S⃗\vec{S}$ ，平面 $π\pi$ 的法向量为 $n⃗\vec{n}$ ，

$l$ 与 $π\pi$ 的夹角为 $ψ=∣π2−(s⃗,n⃗^)∣\psi=\left|\frac{\pi}{2}-( \hat{\vec{s} , \vec{n}} )\right|$

计算 $ψ\psi$ 可用 $sin⁡ψ=cos⁡(s⃗,n⃗^)\sin \psi=\cos \left.( \hat{\vec{s} , \vec{n}} )\right.$

第五节曲面与曲线

一、空间曲面

在空间坐标系中，

点 $↔\leftrightarrow$ 坐标 $(x, y, z)$

曲面 $↔\leftrightarrow$ $F (x, y, z) = 0$ 曲面方程

二、二次曲面

01 椭球面

方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad (a>0, b>0, c>0\ 半轴 )$
截痕法
- 通过用平行坐标面的平面去截曲面，
- 所得交线 ( 称为截痕 ) 了解曲面性态
简图
- 利用截痕法易得
特点
- 有界对称
- 被平行坐标面的平面截得的椭圆
  
  例如，被平面 $z = h$ 截得 ${x2a2+y2b2=1−h2c2z=h\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.$
思考：中心不在原点的椭球面方程形式？

02 单叶双曲面

方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
简图
- $x = 0$ ，双曲线
- $y = 0$ ，双曲线
- $z = 0$ ，椭圆
特点
- 对称
- 与 $x y$ 面平行的平面截得椭圆
  
  例如， ${x2a2+y2b2=1+h2c2z=h\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.$
  
  与其他坐标面平行的平面截得双曲线 ${x2a2+y2b2=1−h2c2z=h(h的大小变化时双曲线的变化)\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.\quad (h的大小变化时双曲线的变化)$
思考：中心不在原点的椭球面方程形式？

03 双叶双曲面

方程
$-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
简图
- $z = 0$ ，没有定义
- $z=±cz=\pm c$ ，上下两椭圆
特点
- 对称，图形分两叶
- 与坐标面平行的平面截得双曲线或椭圆

04 椭圆抛物面

方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$
简图
- $z < 0$ ，没有定义

05 双曲抛物面（马鞍面）

方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$
简图
- $x = 0$ ，张口朝上的抛物线
- $y = 0$ ，张口朝下的抛物线
- $z = c$ ，双曲线

三、柱面、旋转面和锥面

01 柱面

(1) 柱面的概念

概念
- $L$ 是空间曲线, $l$ 是过 $L$ 上点 $P$ 的直线，
- $P$ 沿 $L$ 移动时与原方向始终平行的直线 $l$ 的轨迹为柱面。
简图
- $L$ ：准线， $l$ ：母线
母线平行于坐标轴的柱面
- 方程的特点
  
  不含某个变量，例如 $(不含z)F(x,y)=0\ \ (不含z)$
  
  不含哪个变量和哪个坐标轴平行

(2) 二次柱面

椭圆柱面
- 方程
  $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- 简图
双曲柱面
- 方程
  $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- 简图
抛物面柱
- 方程
  $x^2=py$
- 简图

02 旋转面

概念
- 平面上曲线 $L$ 绕直线 $l$ 旋转一周的轨迹所形成的曲面为旋转面。
- $l$ ：对称轴， $L$ ：子午线
$yz$ 面上的曲线： ${f(y,z)x=0\left\{\begin{array}{l} f(y,z) \\ x=0 \end{array}\right.$
绕 $z$ 轴旋转而成的曲面： $f(±x2+y2,z)=0f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$

03 锥面

概念
- $M_{0}$ 是曲线 $L$ 之外的定点，直线 $l$ 过 $M_{0}$ 点且与 $L$ 相交,
- 当交点沿 $L$ 运动时， $l$ 的轨迹形成锥面。
简图
齐次方程是锥面方程。例如，
- 方程
  $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}$
- 简图

四、空间曲线

一般方程

一般方程
$\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.\quad(两个曲面交线)$
示例：维维亚尼曲线
- 表示球面与圆柱面的交线
- 方程
  $\left\{\begin{array}{c} z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \\ x^{2}+y^{2}=R x \end{array}\right.$
- 简图

02 参数方程

参数方程（不唯一，依赖参数）
$\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{array} \quad t \in I\right.\quad(点的轨迹)$
示例：螺旋线方程
- 方程
  $\left\{\begin{array}{l} x=a \cos \omega t \\ y=a \sin \omega t \\ z=v t \end{array}\right.$
- 简图

五、空间曲线在坐标面的投影

01 概念

在这里插入图片描述

$L$ 是空间曲线， $π\pi$ 为平面，以 $L$ 为准线，母线垂直于 $π\pi$ 的柱面 $Σ\Sigma$ 称为曲线对平面的投影柱面，

$Σ\Sigma$ 与 $π\pi$ 的交线称为曲线在平面上的投影。

02 方程

若 ${H(x,y,z)=0G(x,y,z)=0L\ \left\{\begin{array}{l} H(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array}\right.$ ，可消去 $z$ ，得柱面方程 $F (x, y) = 0$

$L$ 在柱面上，在 $x y$ 面投影 ${F(x,y)=0z=0\left\{\begin{array}{l} F(x,y)=0\\ z=0 \end{array}\right.$

六、曲面的参数方程

01 方程

$\left\{\begin{array}{l} x=x(s, t) \\ y=y(s, t) \\ z=z(s, t) \end{array} \quad s \in I_{1}, t \in I_{2}\right.$

02 示例

(1) 椭圆柱面方程

在这里插入图片描述
${x=asin⁡θy=bcos⁡θz=ct\left\{\begin{array}{l} x=a\sin\theta\\y=b\cos\theta\\z=ct \end{array}\right.$

(2) 球面方程

在这里插入图片描述
${x=Rsin⁡φcos⁡θy=Rsin⁡φsin⁡θz=Rcos⁡φ\left\{\begin{array}{c}x=R \sin \varphi \cos \theta \\ y=R \sin \varphi \sin \theta \\ z=R \cos \varphi\end{array}\right.$

最后

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