高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅲ)-反常积分_ab的积分有界那么a有界吗吗-优快云博客

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本文详细探讨了反常积分的收敛性，包括无穷限广义积分与瑕积分。介绍了比较判别法、比阶判别法、柯西判别法等判别准则，并通过伽马函数、p积分等实例展示了其在无穷区间和有界区间上的应用。此外，还讨论了无界函数的反常积分，如瑕积分的收敛性。

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高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅲ)-反常积分

第七节反常积分

一、无穷区间的反常积分

01 广义

在狭义积分中有两个限制：(1) 在定区间 $[a, b]$ ；(2) $f (x)$ 有界。

将积分概念推广到无穷区间上，或被积函数无界。

02 定义

$b>a,f(x)\forall\ b>a, f(x)$ 在 $[a, b]$ 均可积，则 $∫a+∞f(x)dx=lim⁡b→+∞∫abf(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$ ，称为 $f (x)$ 在 $[a,+∞)[a,+\infty)$ 的反常积分（无穷限广义积分）。
对积分的推广：积分+极限。
上述极限存在时，称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
类似地，定义 $∫−∞bf(x)dx\int_{-\infty}^{b} f(x) d x$
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{a} f(x) d x+\int_{a}^{+\infty} f(x) d x \leftarrow \begin{aligned}&\text { 两项都收敛, } \\&\text { 左端才收敛。 }\end{aligned}$

03 公式

$\begin{aligned} & \int _{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim \limits_{b \rightarrow +\infty}\int _{a}^{b}f(x)dx=A\\ & \int _{-\infty}^{a}f(x)dx=\lim \limits_{b \rightarrow -\infty}\int _{b}^{a}f(x)dx=A\\ & \int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int _{-\infty}^{a}f(x)dx+\int _{a}^{+\infty}f(x)dx\\ & \int _{-\infty}^{a}f(x)dx,\int _{a}^{+\infty}f(x)dx收敛\Rightarrow\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx收敛 \end{aligned}$

04 计算法/判别法

连续函数 $f (x)$ 的原函数为 $F (x)$ ，则 $∫a+∞f(x)dx=lim⁡b→+∞F(b)−F(a)\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} F(b)-F(a)$
引进记号，将 $lim⁡b→+∞F(b)−F(a)\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} F(b)-F(a)$ 记作 $F(x)∣a+∞\left.F(x)\right|_{a} ^{+\infty}$
上述方法即为推广的牛顿莱布尼兹公式
无穷区间上的 $N - L$ 公式

设 $F (x)$ 为 $f (x)$ 的原函数，广义 $N - L$ 公式：

$∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞=lim⁡a→+∞F(x)−F(a)\int _{a}^{+\infty}f(x)dx=\left.F(x)\right|_{a} ^{+\infty}=\lim \limits_{a \rightarrow +\infty} F(x)-F(a)$

05 $P$ 积分在无穷区间上的敛散性

第一 $p$ 广义积分
$\begin{aligned} & 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\ & 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p<1\ \ 发散\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\ \ , \ p>1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散 \end{aligned}$

06 无穷区间上积分的敛散性判定准则

(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned}$
(2) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}$
(3) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(4) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(5) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
$\begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\ \end{aligned}$

二、无界函数的反常积分

01 定义

(1) 表述01

$f (x)$ 在 $b$ 的左邻域无界（称 $b\mathrm{b}$ 为瑕点）， $∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ， $f (x)$ 在 $b-\varepsilon]$ 可积，

则 $∫abf(x)dx=lim⁡ε→0+∫ab−εf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x$ ，称为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 的反常积分（瑕积分）。
上述右端极限存在时，称反常积分收敛；否则称此反常积分发散。
类似地，可定义左端点 $a$ 为瑕点的反常积分。
当瑕点在积分区间内，需分为两个反常积分之和。

(2) 表述02

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $lim⁡x→b−f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x)=\infty$ ，取 $ξ>0\forall\ \xi>0$ ，且 $ξ<b−a\xi<b-a$ ，有 $b−ξ>ab-\xi>a$ ，即 $b−ξ∈(a,b)b-\xi\in(a,b)$ ，

则 $∫abf(x)dx=lim⁡ξ→0+∫ab−ξf(x)dx=△∫abf(x)dx\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} \int _{a}^{b-\xi}f(x)dx\stackrel{\triangle}{=}\int _{a}^{b}f(x)dx$ ，称为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 的反常积分（瑕积分）。

02 计算法

$F (x)$ 是连续函数 $f (x)$ 的原函数， $b$ 是瑕点， $∫abf(x)dx=F(x)∣ab=lim⁡x→b−F(x)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=\lim \limits_{x \rightarrow b^{-}} F(x)-F(a)$ .
上述方法即为推广的牛顿莱布尼兹公式
设 $F (x)$ 为 $f (x)$ 的原函数， $lim⁡x→b−f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x)=\infty$ ，则：

$\begin{aligned} & \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} \int _{a}^{b-\xi}f(x)dx= \lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+}(\left.F(x)\right|_{a} ^{b-\xi})=\\ & \lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} (F(b-\xi)-F(a))=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+}F(b)-F(a)\xlongequal{b-\xi=x}\\ & \lim \limits_{x \rightarrow b^-}F(x)-F(a)\stackrel{\triangle}{=}\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\ \ (b为瑕点)\\ \end{aligned}$

03 $P$ 积分关于无界函数的敛散性

第二 $p$ 广义积分—— 无界函数的敛散性
$\begin{aligned} & 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p<1\ \ 收敛\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。\\ & 特别地，对于积分\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。 \end{aligned}$

04 伽马函数

$∫0+∞xs−1e−xdx=∫01xs−1e−xdx+∫1+∞xs−1e−xdx\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx=\int _{0}^{1}x^{s-1}e^{-x}dx+\int _{1}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$

当 $s > 0$ 时，右边两个广义积分均收敛，则 $∫0+∞xs−1e−xdx\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$ 收敛，且是 $(0,+∞)(0,+\infty)$ 上 $s$ 的函数，

记作 $Γ(s)\Gamma(s)$ ，即 $s∈(0,+∞)\Gamma(s)=\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\ \ s\in(0,+\infty)$ 称为伽马函数。

伽马函数递推公式。

05 无界函数积分敛散性的判定准则

(1) 瑕积分的比较判别法（保序性）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned}$
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}$
(3) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(4) 瑕积分的柯西判别法极限形式
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(5) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
$\begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\ \end{aligned}$
(6) 注意事项

瑕点不是 $f (x)$ 在该点无定义，而是无穷大/无穷小的点。
定积分分部积分法一般不能用在求敛散性上；

不定积分分部积分法可以用。
定积分中对称性、奇偶性，在广义积分中一般不能用。

积分收敛时成立，原函数可能某部分发散。

举例： $∫−∞+∞arctan⁡xdx=∫−∞0arctan⁡xdx+∫0+∞arctan⁡xdx\int _{-\infty}^{+\infty}\arctan xdx=\int _{-\infty}^{0}\arctan xdx+\int _{0}^{+\infty}\arctan xdx$

相加两项积分发散，原积分必发散，若利用奇偶性却为0，得出积分收敛的错误结论。

三、反常积分敛散性判别法

01 反常积分的比较判别法（保序性）

02 反常积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）

(1) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}$
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}$

03 反常积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）

(1) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(2) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$

04 反常积分的柯西判别法极限形式

(1) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$
(2) 瑕积分的柯西判别法极限形式
$\begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}$

05 反常积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）

(1) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
$\begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\ \end{aligned}$
(5) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
$\begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\ \end{aligned}$

最后

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