本文详细探讨了反常积分的收敛性，包括无穷限广义积分与瑕积分。介绍了比较判别法、比阶判别法、柯西判别法等判别准则，并通过伽马函数、p积分等实例展示了其在无穷区间和有界区间上的应用。此外，还讨论了无界函数的反常积分，如瑕积分的收敛性。
高等数学笔记-乐经良
第五章-积分(Ⅲ)-反常积分
第七节 反常积分
一、无穷区间的反常积分
01 广义
在狭义积分中有两个限制：(1) 在定区间 [a,b][a,b][a,b] ；(2) f(x)f(x)f(x) 有界 。
将积分概念推广到无穷区间上，或被积函数无界。
02 定义
- ∀ b>a,f(x)\forall\ b>a, f(x)∀ b>a,f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 均可积，则 ∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x∫a+∞f(x)dx=b→+∞lim∫abf(x)dx，称为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 的反常积分（无穷限广义积分）。
- 对积分的推广：积分+极限。
- 上述极限存在时，称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
- 类似地，定义 ∫−∞bf(x)dx\int_{-\infty}^{b} f(x) d x∫−∞bf(x)dx
- ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx← 两项都收敛, 左端才收敛。 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{a} f(x) d x+\int_{a}^{+\infty} f(x) d x \leftarrow \begin{aligned}&\text { 两项都收敛, } \\&\text { 左端才收敛。 }\end{aligned}∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx← 两项都收敛, 左端才收敛。
03 公式
∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx=A∫−∞af(x)dx=limb→−∞∫baf(x)dx=A∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx∫−∞af(x)dx,∫a+∞f(x)dx收敛⇒∫−∞+∞f(x)dx收敛 \begin{aligned} & \int _{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim \limits_{b \rightarrow +\infty}\int _{a}^{b}f(x)dx=A\\ & \int _{-\infty}^{a}f(x)dx=\lim \limits_{b \rightarrow -\infty}\int _{b}^{a}f(x)dx=A\\ & \int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int _{-\infty}^{a}f(x)dx+\int _{a}^{+\infty}f(x)dx\\ & \int _{-\infty}^{a}f(x)dx,\int _{a}^{+\infty}f(x)dx收敛\Rightarrow\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx收敛 \end{aligned} ∫a+∞f(x)dx=b→+∞lim∫abf(x)dx=A∫−∞af(x)dx=b→−∞lim∫baf(x)dx=A∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx∫−∞af(x)dx,∫a+∞f(x)dx收敛⇒∫−∞+∞f(x)dx收敛
04 计算法/判别法
-
连续函数 f(x)f(x)f(x) 的原函数为 F(x)F(x)F(x)，则 ∫a+∞f(x)dx=limb→+∞F(b)−F(a)\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} F(b)-F(a)∫a+∞f(x)dx=b→+∞limF(b)−F(a)
-
引进记号，将 limb→+∞F(b)−F(a)\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} F(b)-F(a)b→+∞limF(b)−F(a) 记作 F(x)∣a+∞\left.F(x)\right|_{a} ^{+\infty}F(x)∣a+∞
-
上述方法即为推广的牛顿莱布尼兹公式
-
无穷区间上的 N−LN-LN−L 公式
设 F(x)F(x)F(x) 为 f(x)f(x)f(x) 的原函数，广义 N−LN-LN−L 公式：
∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞=lima→+∞F(x)−F(a)\int _{a}^{+\infty}f(x)dx=\left.F(x)\right|_{a} ^{+\infty}=\lim \limits_{a \rightarrow +\infty} F(x)-F(a)∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞=a→+∞limF(x)−F(a)
05 PPP 积分在无穷区间上的敛散性
第一 ppp 广义积分
讨论:∫a+∞dxxp (a>0) 的敛散性解答: (1) p=1 , ∫a+∞dxx=lnx∣a+∞=∞⇒发散 (2) p≠1 , ∫a+∞dxxp=x1−p1−p∣a+∞⇒{ p>1 收敛 p<1 发散综上，对于积分∫a+∞1xpdx , p>1 收敛 , p⩽1 发散
\begin{aligned}
& 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\
& 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\
& \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p<1\ \ 发散\end{cases}\\
& 综上，对于积分\int _{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\ \ , \ p>1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散
\end{aligned}
讨论:∫a+∞xpdx (a>0) 的敛散性解答: (1) p=1 , ∫a+∞xdx=lnx∣a+∞=∞⇒发散 (2) p=1 , ∫a+∞xpdx=1−px1−pa+∞⇒{ p>1 收敛 p<1 发散综上，对于积分∫a+∞xp1dx , p>1 收敛 , p⩽1 发散
06 无穷区间上积分的敛散性判定准则
(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
(2) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
(3) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽Kxp , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾Kxp , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽xpK , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾xpK , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
(4) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞xpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞limxpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
(5) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且limx→+∞g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且x→+∞limg(x)=0
二、无界函数的反常积分
01 定义
(1) 表述01
-
f(x)f(x)f(x) 在 bbb 的左邻域无界（称 b\mathrm{b}b 为瑕点），∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0，f(x)f(x)f(x) 在 [a,b−ε][a, b-\varepsilon][a,b−ε] 可积，
则 ∫abf(x)dx=limε→0+∫ab−εf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x∫abf(x)dx=ε→0+lim∫ab−εf(x)dx，称为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的反常积分（瑕积分）。
-
上述右端极限存在时，称反常积分收敛；否则称此反常积分发散。
-
类似地，可定义左端点 aaa 为瑕点的反常积分。
-
当瑕点在积分区间内，需分为两个反常积分之和。
(2) 表述02
设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且 limx→b−f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x)=\inftyx→b−limf(x)=∞，取 ∀ ξ>0\forall\ \xi>0∀ ξ>0，且 ξ<b−a\xi<b-aξ<b−a，有 b−ξ>ab-\xi>ab−ξ>a，即 b−ξ∈(a,b)b-\xi\in(a,b)b−ξ∈(a,b)，
则 ∫abf(x)dx=limξ→0+∫ab−ξf(x)dx=△∫abf(x)dx\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} \int _{a}^{b-\xi}f(x)dx\stackrel{\triangle}{=}\int _{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx=ξ→0+lim∫ab−ξf(x)dx=△∫abf(x)dx，称为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的反常积分（瑕积分）。
02 计算法
-
F(x)F(x)F(x) 是连续函数 f(x)f(x)f(x) 的原函数， bbb 是瑕点，∫abf(x)dx=F(x)∣ab=limx→b−F(x)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=\lim \limits_{x \rightarrow b^{-}} F(x)-F(a)∫abf(x)dx=F(x)∣ab=x→b−limF(x)−F(a) .
-
上述方法即为推广的牛顿莱布尼兹公式
-
设 F(x)F(x)F(x) 为 f(x)f(x)f(x) 的原函数，limx→b−f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x)=\inftyx→b−limf(x)=∞，则：
∫abf(x)dx=limξ→0+∫ab−ξf(x)dx=limξ→0+(F(x)∣ab−ξ)=limξ→0+(F(b−ξ)−F(a))=limξ→0+F(b)−F(a)=b−ξ=xlimx→b−F(x)−F(a)=△F(x)∣ab (b为瑕点) \begin{aligned} & \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} \int _{a}^{b-\xi}f(x)dx= \lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+}(\left.F(x)\right|_{a} ^{b-\xi})=\\ & \lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+} (F(b-\xi)-F(a))=\lim \limits_{\xi \rightarrow 0^+}F(b)-F(a)\xlongequal{b-\xi=x}\\ & \lim \limits_{x \rightarrow b^-}F(x)-F(a)\stackrel{\triangle}{=}\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\ \ (b为瑕点)\\ \end{aligned} ∫abf(x)dx=ξ→0+lim∫ab−ξf(x)dx=ξ→0+lim(F(x)∣ab−ξ)=ξ→0+lim(F(b−ξ)−F(a))=ξ→0+limF(b)−F(a)b−ξ=xx→b−limF(x)−F(a)=△F(x)∣ab (b为瑕点)
03 PPP 积分关于无界函数的敛散性
第二 ppp 广义积分—— 无界函数的敛散性
讨论:∫ab1(x−a)pdx 的敛散性 (1) p⩽0 , 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 (2) p>0 , ① p=1 , 则∫01dxx−a=ln(x−a)∣01=∞⇒发散 ② p≠1 , 则∫01dxxp=(x−a)−p+1−p+1∣01⇒{ p>1 发散 p<1 收敛综上，对于积分∫ab1(x−a)pdx ，p<1时收敛，p>1时发散。特别地，对于积分∫011xpdx ，p<1时收敛，p>1时发散。
\begin{aligned}
& 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\
& \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\
& \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\
& \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\
& \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p<1\ \ 收敛\end{cases}\\
& 综上，对于积分\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。\\
& 特别地，对于积分\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。
\end{aligned}
讨论:∫ab(x−a)p1dx 的敛散性 (1) p⩽0 , 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 (2) p>0 , ① p=1 , 则∫01x−adx=ln(x−a)∣01=∞⇒发散 ② p=1 , 则∫01xpdx=−p+1(x−a)−p+101⇒{ p>1 发散 p<1 收敛综上，对于积分∫ab(x−a)p1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。特别地，对于积分∫01xp1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。
04 伽马函数
∫0+∞xs−1e−xdx=∫01xs−1e−xdx+∫1+∞xs−1e−xdx\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx=\int _{0}^{1}x^{s-1}e^{-x}dx+\int _{1}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx∫0+∞xs−1e−xdx=∫01xs−1e−xdx+∫1+∞xs−1e−xdx
当 s>0s>0s>0 时，右边两个广义积分均收敛，则 ∫0+∞xs−1e−xdx\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx∫0+∞xs−1e−xdx 收敛，且是 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 上 sss 的函数，
记作 Γ(s)\Gamma(s)Γ(s)，即 Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx s∈(0,+∞)\Gamma(s)=\int _{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\ \ s\in(0,+\infty)Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx s∈(0,+∞) 称为伽马函数。
伽马函数递推公式。
05 无界函数积分敛散性的判定准则
(1) 瑕积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
(3) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽K(b−x)p , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾K(b−x)p , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽(b−x)pK , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾(b−x)pK , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
(4) 瑕积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞lim(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
(5) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且limx→b−g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且x→b−limg(x)=0
(6) 注意事项
-
瑕点不是 f(x)f(x)f(x) 在该点无定义，而是无穷大/无穷小的点。
-
定积分分部积分法一般不能用在求敛散性上；
不定积分分部积分法可以用。
-
定积分中对称性、奇偶性，在广义积分中一般不能用。
积分收敛时成立，原函数可能某部分发散。
举例：∫−∞+∞arctanxdx=∫−∞0arctanxdx+∫0+∞arctanxdx\int _{-\infty}^{+\infty}\arctan xdx=\int _{-\infty}^{0}\arctan xdx+\int _{0}^{+\infty}\arctan xdx∫−∞+∞arctanxdx=∫−∞0arctanxdx+∫0+∞arctanxdx
相加两项积分发散，原积分必发散，若利用奇偶性却为0，得出积分收敛的错误结论。
三、反常积分敛散性判别法
01 反常积分的比较判别法（保序性）
(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
(2) 瑕积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
02 反常积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
(1) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
03 反常积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽Kxp , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾Kxp , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽xpK , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾xpK , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽K(b−x)p , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾K(b−x)p , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽(b−x)pK , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾(b−x)pK , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
04 反常积分的柯西判别法极限形式
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞xpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞limxpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞lim(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
05 反常积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
(1) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且limx→+∞g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且x→+∞limg(x)=0
(5) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且limx→b−g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且x→b−limg(x)=0
最后
😊为防止河蟹，链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理，将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框，点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦：
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