高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学(Ⅱ)

本文详细介绍了多元微积分的基础概念,包括复合函数的微分法、隐函数的偏导数和全微分。阐述了方向导数、切线和平面、梯度向量以及一阶泰勒公式,强调了这些概念在几何上的意义。同时,讨论了多元函数的极值问题,提出了拉格朗日乘数法解决条件极值问题的方法。内容涵盖多元函数微分学的基本原理和实际应用。

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高等数学笔记-乐经良老师

第八章 多元函数微分学(Ⅱ)

第五节 多元复合函数的微分法

一、复合函数的偏导数

链法则

函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x, y), v=v(x, y)u=u(x,y),v=v(x,y)(x,y)(x,y)(x,y) 存在偏导数,z=f(u,v)\mathrm{z}=f(u, v)z=f(u,v) 在相应的 (u,v)(u, v)(u,v) 处可微,

则复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y))z=f(u(x, y), v(x, y))z=f(u(x,y),v(x,y)),存在偏导数

在这里插入图片描述

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二、隐函数的偏导数

01 隐函数及其偏导数

设函数 FFF(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)(x0,y0,z0) 邻域内有连续偏导数,且 F(x0,y0,z0)=0 , Fz(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\ , \ F_{z}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0F(x0,y0,z0)=0 , Fz(x0,y0)=0

则方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z)=0F(x,y,z)=0(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)(x0,y0,z0) 邻域内可确定唯一的函数 z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)z=f(x,y)

满足 F(x,y,f(x,y))≡0 , z0=f(x0,y0)F(x, y, f(x, y)) \equiv 0\ , \ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)F(x,y,f(x,y))0 , z0=f(x0,y0),且有:
∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}} xz=FzFx,yz=FzFy

02 隐函数组及其偏导数

若函数 F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v) 在点 P0(x0,y0,u0,v0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)P0(x0,y0,u0,v0) 某一邻域内有连续的偏导数,

F(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0F(x0,y0,u0,v0)=0, G(x0,y0,u0,v0)=0G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0G(x0,y0,u0,v0)=0

行列式 J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|J=(u,v)(F,G)=uFuGvFvG 在点 P0P_{0}P0 不等于 0 ,

{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0​ 可唯一确定函数 u=u(x,y) , v=v(x,y)u=u(x, y)\ ,\ v=v(x, y)u=u(x,y) , v=v(x,y)​ 满足:
此方程组 {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0   及 {u0=u(x0,v0)v0=v(x0,v0) 此方程组\ \left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.\ \ \ 及\ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=u\left(x_{0}, v_{0}\right) \\ v_{0}=v\left(x_{0}, v_{0}\right)\end{array}\right. 此方程组 {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0    {u0=u(x0,v0)v0=v(x0,v0)
且有连续偏导数:
∂u∂x=−1J∂(F,G)∂(x,v)=−∣FxFvGxGv∣∣FuFvGuGv∣∂u∂y=−1J∂(F,G)∂(y,v)=−∣FyFvGyGv∣∣FuFvGuGv∣ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} xu=J1(x,v)(F,G)=FuGuFvGvFxGxFvGvyu=J1(y,v)(F,G)=FuGuFvGvFyGyFvGv

∂v∂x=−1J∂(F,G)∂(u,x)=−∣FuFxGuGx∣∣FuFvGuGv∣∂v∂y=−1J∂(F,G)∂(u,y)=−∣FuFyGuGy∣∣FuFvGuGv∣ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} xv=J1(u,x)(F,G)=FuGuFvGvFuGuFxGxyv=J1(u,y)(F,G)=FuGuFvGvFuGuFyGy

03 隐函数存在定理

隐函数的偏导数(同济表述

(1) 隐函数存在定理01:

设函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 在点 P(x0,y0)P\left(x_{0}, y_{0}\right)P(x0,y0) 的某一邻域内具有连续偏导数,

F(x0,y0)=0 , Fy(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\ ,\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0F(x0,y0)=0 , Fy(x0,y0)=0,则方程 F(x,y)=0F(x, y)=0F(x,y)=0

在点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)

它满足条件 y0=y_{0}=y0= f(x0)f\left(x_{0}\right)f(x0),并有:
dydx=−FxFy \frac{d y}{d x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}} dxdy=FyFx
上述公式即为隐函数的求导公式。

(2) 隐函数存在定理02:

设函数 F(x,y,z)F(x, y, z)F(x,y,z) 在点 P(x0,y0,z0)P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)P(x0,y0,z0) 的某一邻域内具有连续偏㝵数,

F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \neq 0F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)=0,则方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z)=0F(x,y,z)=0

在点 (x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)(x0,y0,z0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=z=z= f(x,y)f(x, y)f(x,y)

它满足条件 z0=f(x0,y0)z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)z0=f(x0,y0),并有:
∂z∂x=−FzFx  ,  ∂z∂y=−FyFi. \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{z}}{F_{x}}\ \ ,\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{i}} . xz=FxFz  ,  yz=FiFy.

(3) 隐函数存在定理03:

F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)F(x, y, u, v) , G(x, y, u, v)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v) 在点 P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)P(x0,y0,u0,v0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,

F(x0,y0,u0,v0)=0 , G(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0\ ,\ G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0F(x0,y0,u0,v0)=0 , G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比式)
J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣ J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right| J=(u,v)(F,G)=uFuGvFvG
在点 P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)P(x0,y0,u0,v0) 不等于零,则方程组 F(x,y,u,v)=0 , G(x,y,u,v)=0F(x, y, u, v)=0\ ,\ G(x, y, u, v)=0F(x,y,u,v)=0 , G(x,y,u,v)=0

在点 (x0,y0,u0,v0)\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)(x0,y0,u0,v0) 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件 u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有:
∂u∂x=−1J∂(F,G)∂(x,v)=−∣FxFvGxGv∣∣FuFvGuGv∣,∂v∂x=−1J∂(F,G)∂(u,x)=−∣FuFxGuGx∣∣FuFvGuGv∣,∂u∂y=−1J∂(F,G)∂(y,v)=−∣FyFvGyGv∣∣FuFvGuGv∣,∂v∂y=−1J∂(F,G)∂(u,y)=−∣FuFyGuGy∣∣FuFvGuGv∣. \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} . \end{aligned} xu=J1(x,v)(F,G)=FuGuFvGvFxGxFvGv,xv=J1(u,x)(F,G)=FuGuFvGvFuGuFxGx,yu=J1(y,v)(F,G)=FuGuFvGvFyGyFvGv,yv=J1(u,y)(F,G)=FuGuFvGvFuGuFyGy.

三、一阶全微分形式不变性

01 一阶全微分形式的不变性

函数 z=f(u,v)z=f(u, v)z=f(u,v) 的全微分
dz=∂f∂udu+∂f∂vdv d z=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v dz=ufdu+vfdv
u,vu, vu,v 又是 x,yx, yx,y 的可微函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x, y), v=v(x, y)u=u(x,y),v=v(x,y)
du=∂u∂xdx+∂u∂ydy  ,  dv=∂v∂xdx+∂v∂ydy d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\ \ ,\ \ d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y du=xudx+yudy  ,  dv=xvdx+yvdy
复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y))z=f(u(x, y), v(x, y))z=f(u(x,y),v(x,y)) 的全微分为
dz=(∂f∂u⋅∂u∂x+∂f∂v⋅∂v∂x)dx+(∂f∂u⋅∂u∂y+∂f∂v⋅∂v∂y)dy=∂f∂u(∂u∂xdx+∂u∂ydy)+∂f∂v(∂v∂xdx+∂v∂ydy)=∂f∂udu+∂f∂vdv \begin{aligned} d z &=\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) d y\\ & =\frac{\partial f}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y\right)=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v \end{aligned} dz=(ufxu+vfxv)dx+(ufyu+vfyv)dy=uf(xudx+yudy)+vf(xvdx+yvdy)=ufdu+vfdv
f=f(u,v)f=f(u, v)f=f(u,v)​,无论 u,vu, vu,v​ 是自变量或函数,均满足
df=∂f∂udu+∂f∂vdv d f=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v df=ufdu+vfdv

02 多元函数全微分运算法则

(1)   d(u±v)=du±dv(2)   d(uv)=udv+vdu(3)   d(uv)=vdu−udvv2(v≠0) \begin{aligned} &(1)\ \ \ d(u \pm v)=d u \pm d v \\ &(2)\ \ \ d(u v)=u d v+v d u \\ &(3)\ \ \ d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v d u-u d v}{v^{2}} \quad(v \neq 0) \end{aligned} (1)   d(u±v)=du±dv(2)   d(uv)=udv+vdu(3)   d(vu)=v2vduudv(v=0)

03 求隐函数一阶偏导的小技巧

在求隐函数(尤其是隐函数组)所有一阶偏导数时,利用微分形式不变性较简便

第六节 方向导数与梯度

一、方向导数

01 方向导数的定义
(1) 定义

非零向量 l⃗\vec{l}l 的方向余弦为 cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha, \cos \betacosα,cosβ ,函数 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 沿 l⃗\vec{l}l方向导数
∂z∂l⃗∣(x0,y0)=lim⁡t→0f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t \left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t} lz(x0,y0)=t0limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0)

(2) 意义

偏导数是函数在沿坐标轴方向上的变化率;

方向导数则是沿其他方向的变化率。

02 充分条件和计算公式

z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 可微,向量 l⃗\vec{l}l 的方向余弦为 cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha,\cos \betacosα,cosβ,则在 P0P_0P0 点存在方向导数
∂z∂l⃗∣(x0,y0)=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β \left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta lz(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ

二、梯度

01 梯度的定义

函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 P0(x,y)P_{0}(x, y)P0(x,y)梯度
∇f∣(x0,y0)=grad⁡f∣(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0)) \left.\nabla f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) f(x0,y0)=gradf(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
简记为 $\nabla f=\left(f_{x}, f_{y}\right) $ .(可推广至三维情况

利用梯度的符号, 得到
∂f∂l⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅l0⃗=∇f⋅l0→ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\cdot \vec{l^0}=\nabla f \cdot \stackrel{\rightarrow}{l^{0}} lf=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))l0=fl0
(∇f,l⃗^)=0(\nabla \hat{f, \vec{l}})=0(f,l^)=0 (即 ∇f\nabla ffl→\stackrel{\rightarrow}{l}l 夹角为0) 时,方向导数 ∂f∂l⃗\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}lf 取得最大值 ∣∇f∣|\nabla f|∣∇f.

02 梯度的意义
  • 梯度的方向是方向导数取最大值时的方向;
  • 梯度的方向也是函数变化率最大的方向;
  • 梯度的模是方向导数的最大值。
03 梯度的运算法则
  • 运算符号
    • 运算符号 ∇\nabla​ ——梯度算子(一种运算符)
    • ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z) , ∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\ ,\ \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(x,y,z) , f=(xf,yf,zf)
  • 运算法则
    • ∇(c1u+c2v)=c1∇u+c2∇v\nabla\left(c_{1} u+c_{2} v\right)=c_{1} \nabla u+c_{2} \nabla v(c1u+c2v)=c1u+c2vc1,c2c_1,c_2c1,c2 是常数)
    • ∇(uv)=v∇u+u∇v  ,  ∇(uv)=v∇u−u∇vv2\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v \ \ , \ \ \nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}}(uv)=vu+uv  ,  (vu)=v2vuuv
    • ∇(f(u))=f′(u)∇u  ,  ∇(g(u,v))=gu∇u+gv∇v\nabla(f(u))=f^{\prime}(u) \nabla u \ \ , \ \ \nabla(g(u, v))=g_{u} \nabla u+g_{v} \nabla v(f(u))=f(u)u  ,  (g(u,v))=guu+gvv
04 梯度的物理意义

uuu 是一个物理量时, ∇u\nabla uu 是它的梯度场。它不依赖坐标系的选择。

例如 uuu 是电位时 u=q4πεru=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r}u=4πεrq 那么 ∇u=−q4πεr∣r∣3\nabla u=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon} \frac{r}{|r|^{3}}u=4πεqr3r 给出了电场强度。

(其中 r=(x,y,z)r=(x, y, z)r=(x,y,z)∣r∣|r|r 是它的模)

第七节 多元微分学在几何上的应用

一、空间曲线的切线及法平面

01 定义
(1) 切线

M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)M0(x0,y0,z0),M(x,y,z) 是空间曲线 Γ\GammaΓ 上的点,若当

MMM 沿曲线趋于 M0M_{0}M0 时,割线 M0MM_{0} MM0M 趋向极限位置为直线 M0TM_{0} TM0T

称此直线为曲线 Γ\GammaΓ 在点 M0M_{0}M0 处的切线

在这里插入图片描述

(2) 法平面

过点 M0M_{0}M0 与切线垂直的平面称为曲线的法平面

02 方程
(1) 空间曲线的参数方程

设空间曲线 Γ\GammaΓ 的参数方程 x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t), y=y(t), z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)

(2) 割线的方向向量

M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)M0(x0,y0,z0),M(x,y,z) 分别对应参数 tttt0,t0+Δtt_{0}, t_{0}+\Delta tt0,t0+Δt

割线 M0MM_{0} MM0M 的方向向量 (Δx,Δy,Δz)//(ΔxΔt,ΔyΔt,ΔzΔt)(\Delta x, \Delta y, \Delta z) / /\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}, \frac{\Delta y}{\Delta t}, \frac{\Delta z}{\Delta t}\right)(Δx,Δy,Δz)//(ΔtΔx,ΔtΔy,ΔtΔz)

(3) 曲线的切向量

取极限导出 Γ\GammaΓ 的切向量 τ⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec{\tau}=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)τ=(x(t0),y(t0),z(t0)).

注意,由 (dx,dy,dz)=(x′(t),y′(t),z′(t))dt(d x, d y, d z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t(dx,dy,dz)=(x(t),y(t),z(t))dt ⇒\Rightarrow (dx,dy,dz)(d x, d y, d z)(dx,dy,dz) 也是曲线的切向量

(4) 切线方程

曲线 Γ\GammaΓ : x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t), y=y(t), z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t) 在点 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)M0(x0,y0,z0) 处的切线方程
x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z′(t0) \frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)} x(t0)xx0=y(t0)yy0=z(t0)zz0

(5) 法平面方程

M0M_{0}M0 处的法平面方程
x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0 x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0

二、曲面的切平面与法线

01 定义
(1) 切平面

由曲面 SSS 上所有过点 M0M_0M0 的光滑曲线在 M0M_0M0 的切线所组成的平面称为曲面 SSSM0M_0M0 处的切平面

(2) 法线

过点 M0M_0M0 与切平面垂直的直线称为曲面 SSSM0M_0M0​​ 处的法线

(3) 过曲线上某点的任意曲线

设曲面 SSS 的方程 F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)F(x, y, z)=0, M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)SSS 上一点,

而过 M0M_{0}M0​ 在曲面上的曲线为 x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t), y=y(t), z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t) .

(4) 曲面上过曲线上某点的任意曲线

曲线在曲面 SSS​ 上:F(x(t),y(t),z(t))≡0F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0F(x(t),y(t),z(t))0​ .

对方程求关于 ttt 的导数,得到:(Fx,Fy,Fz)⋅(x′(t),y′(t),z′(t))=0\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \cdot\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)=0(Fx,Fy,Fz)(x(t),y(t),z(t))=0​​​ .

(5) 曲面过某点切平面的法向量

在对应 t0t_{0}t0​ 的 M0M_{0}M0​ 点,向量 (x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)(x(t0),y(t0),z(t0))​ 总是与 (Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)(Fx,Fy,Fz)​​ 正交。

(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)(x(t0),y(t0),z(t0)) 是曲面的切向量; (Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)(Fx,Fy,Fz)​ 与切向量始终垂直,是切平面的法向量。

(6) 小结

通过以上分析,可以得到:切平面定义的合理性;切平面的法向量: (Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)(Fx,Fy,Fz) ,也称为 SSS 的法向量。

02 方程
(1) 切平面方程

SSSM0M_{0}M0 处的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0 F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0

(2) 法线方程

SSSM0M_{0}M0​ 处的法线方程:
x−x0Fx(x0,y0,z0)=y−y0Fy(x0,y0,z0)=z−z0Fz(x0,y0,z0) \frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} Fx(x0,y0,z0)xx0=Fy(x0,y0,z0)yy0=Fz(x0,y0,z0)zz0

(3) 法向量

若曲面 SSS 的方程为 z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y),法向量为:n⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\vec{n}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right)n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)

03 全微分与切平面

回忆全微分的几何意义,近似曲面的平面正是切平面。

第八节 多元函数的极值

一、二元函数的泰勒公式

01 泰勒公式

函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y)P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 的邻域有 n+1\mathrm{n}+1n+1​ 阶连续偏导数。

设函数,F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)t∈[0,1]F(t)=f\left(x_{0}+t \Delta x, y_{0}+t \Delta y\right) \quad t \in[0,1]F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)t[0,1].

将此函数用泰勒公式展开且取 t=1\mathrm{t}=1t=1​,得到
f(x0+Δx,y0+Δy)=∑k=0n1k!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)kf(x0,y0)+Rn f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\left(x_{0}, y_{0}\right)+R_{n} f(x0+Δx,y0+Δy)=k=0nk!1(Δxx+Δyy)kf(x0,y0)+Rn
其中余项
Rn=1(n+1)!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)n+1f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ∈(0,1)) R_{n}=\frac{1}{(n+1) !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1)) Rn=(n+1)!1(Δxx+Δyy)n+1f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ(0,1))

02 一阶泰勒公式

n=1n=1n=1 时,得到函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的一阶泰勒公式:
f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+(Δx∂∂x+Δy∂∂y)f(x0,y0)+12(Δx∂∂x+Δy∂∂y)2f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ∈(0,1)) \begin{gathered} f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f\left(x_{0}, y_{0}\right) +\frac{1}{2}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1)) \end{gathered} f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+(Δxx+Δyy)f(x0,y0)+21(Δxx+Δyy)2f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ(0,1))

二、多元函数的极值

01 二元函数极值

在点 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 的某邻域内 f(x,y)≤f(x0,y0)f(x, y) \leq f(x_{0}, y_{0})f(x,y)f(x0,y0),称函数 fff(x0,y0)(x_{0}, y_{0})(x0,y0) 处取得极大值P0(x0,y0)P_{0}(x_{0}, y_{0})P0(x0,y0) 称为函数的极大值点

在点 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 的某邻域内 f(x,y)≥f(x0,y0)f(x, y) \geq f(x_{0}, y_{0})f(x,y)f(x0,y0),称函数 fff(x0,y0)(x_{0}, y_{0})(x0,y0) 处取得极小值P0(x0,y0)P_{0}(x_{0}, y_{0})P0(x0,y0) 称为函数的极小值点

02 极值的必要条件

f(x,y)f(x, y)f(x,y)P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 处取得极值,且 fff 可微,则 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,并将满足该方程的点称为驻点

注意,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。例如,函数 f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy(0,0)(0,0)(0,0) 的情况。

03 极值的充分条件

函数在点 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0)​ 的邻域内有连续的二阶偏导数, fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0​​,

A=fxx(x0,y0)A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)A=fxx(x0,y0)​​​​ ,B=fxy(x0,y0)B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)B=fxy(x0,y0)​​​​ ,C=fyy(x0,y0)C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)C=fyy(x0,y0),​​​​

B2−AC>0B^{2}-A C>0B2AC>0 时,f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)f(x0,y0)​ 不是极值;

B2−AC<0B^{2}-A C<0B2AC<0​ 时,A>0⇒f(x0,y0) 为极小值。A<0⇒f(x0,y0) 为极大值。A>0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极小值。} \\ A<0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极大值。}A>0f(x0,y0) 为极小值。A<0f(x0,y0) 为极大值。​​​​

04 最值问题
  • 原则
    • 可微连续函数的最值应在定义域内部驻点或边界点取到;
    • 在实际问题中,若最值必在区域内部取得又驻点惟一,则驻点就是最值点。

第九节 条件极值——拉格朗日乘数法

一、问题的提法和解法

在许多极值问题中,函数自变量还要满足一些条件 (约束条件),这样的极值称为条件极值。

例如求函数 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z) 在约束条件 φ(x,y,z)=0\varphi(x,y,z)=0φ(x,y,z)=0 下的极值。

二、拉格朗日乘数法

在这里插入图片描述

最后

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