高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅱ）

野原星月

已于 2024-05-02 14:27:54 修改

阅读量1.6k

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：概率论线性代数几何学

于 2022-04-29 10:17:31 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ding_Yifan/article/details/124489918

本文详细介绍了多元微积分的基础概念，包括复合函数的微分法、隐函数的偏导数和全微分。阐述了方向导数、切线和平面、梯度向量以及一阶泰勒公式，强调了这些概念在几何上的意义。同时，讨论了多元函数的极值问题，提出了拉格朗日乘数法解决条件极值问题的方法。内容涵盖多元函数微分学的基本原理和实际应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

高等数学笔记-乐经良老师

第八章多元函数微分学（Ⅱ）

第五节多元复合函数的微分法

一、复合函数的偏导数

链法则

函数 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ 在 $(x, y)$ 存在偏导数， $z=f(u,v)\mathrm{z}=f(u, v)$ 在相应的 $(u, v)$ 处可微，

则复合函数 $z = f (u (x, y), v (x, y))$ ，存在偏导数

在这里插入图片描述

二、隐函数的偏导数

01 隐函数及其偏导数

设函数 $F$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内有连续偏导数，且 $Fz(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\ , \ F_{z}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，

则方程 $F (x, y, z) = 0$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内可确定唯一的函数 $z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)$ ，

满足 $\equiv 0\ , \ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，且有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}$

02 隐函数组及其偏导数

若函数 $F (x, y, u, v), G (x, y, u, v)$ 在点 $P0(x0,y0,u0,v0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 某一邻域内有连续的偏导数，

且 $F(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ , $G(x0,y0,u0,v0)=0G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ ，

行列式 $J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$ 在点 $P_{0}$ 不等于 0 ，

则 ${F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ 可唯一确定函数 $y)\ ,\ v=v(x, y)$ 满足：
$此方程组\ \left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.\ \ \ 及\ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=u\left(x_{0}, v_{0}\right) \\ v_{0}=v\left(x_{0}, v_{0}\right)\end{array}\right.$
且有连续偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$

03 隐函数存在定理

隐函数的偏导数（同济表述）

(1) 隐函数存在定理01：

设函数 $F (x, y)$ 在点 $P(x0,y0)P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，

且 $Fy(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\ ,\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y) = 0$

在点 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y = f (x)$ ，

它满足条件 $y_{0}=$ $f(x0)f\left(x_{0}\right)$ ，并有：
$\frac{d y}{d x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}$
上述公式即为隐函数的求导公式。

(2) 隐函数存在定理02：

设函数 $F (x, y, z)$ 在点 $P(x0,y0,z0)P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某一邻域内具有连续偏㝵数，

且 $F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y, z) = 0$

在点 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z =$ $f (x, y)$ ，

它满足条件 $z0=f(x0,y0)z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，并有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{z}}{F_{x}}\ \ ,\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{i}} .$

(3) 隐函数存在定理03：

设 $F (x, y, u, v), G (x, y, u, v)$ 在点 $P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，

又 $G(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0\ ,\ G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ ，且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比式)
$J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right|$
在点 $P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 不等于零，则方程组 $v)=0\ ,\ G(x, y, u, v)=0$

在点 $(x0,y0,u0,v0)\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

$u = u (x, y), v = v (x, y)$ ，它们满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$ ，并有：
$\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} . \end{aligned}$

三、一阶全微分形式不变性

01 一阶全微分形式的不变性

函数 $z = f (u, v)$ 的全微分
$z=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v$
若 $u, v$ 又是 $x, y$ 的可微函数 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ ，
$u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\ \ ,\ \ d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y$
复合函数 $z = f (u (x, y), v (x, y))$ 的全微分为
$\begin{aligned} d z &=\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) d y\\ & =\frac{\partial f}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y\right)=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v \end{aligned}$
对 $f = f (u, v)$ ，无论 $u, v$ 是自变量或函数，均满足
$f=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v$

02 多元函数全微分运算法则

$\begin{aligned} &(1)\ \ \ d(u \pm v)=d u \pm d v \\ &(2)\ \ \ d(u v)=u d v+v d u \\ &(3)\ \ \ d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v d u-u d v}{v^{2}} \quad(v \neq 0) \end{aligned}$

03 求隐函数一阶偏导的小技巧

在求隐函数（尤其是隐函数组）所有一阶偏导数时，利用微分形式不变性较简便

第六节方向导数与梯度

一、方向导数

01 方向导数的定义

(1) 定义

非零向量 $l⃗\vec{l}$ 的方向余弦为 $cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha, \cos \beta$ ，函数 $z = f (x, y)$ 沿 $l⃗\vec{l}$ 的方向导数为
$\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$

(2) 意义

偏导数是函数在沿坐标轴方向上的变化率；

方向导数则是沿其他方向的变化率。

02 充分条件和计算公式

若 $z = f (x, y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，向量 $l⃗\vec{l}$ 的方向余弦为 $cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha,\cos \beta$ ，则在 $P_0$ 点存在方向导数
$\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta$

二、梯度

01 梯度的定义

函数 $f (x, y)$ 在点 $P_{0}(x, y)$ 的梯度为
$\left.\nabla f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$
简记为 $\nabla f=\left(f_{x}, f_{y}\right) $ .（可推广至三维情况）

利用梯度的符号, 得到
$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\cdot \vec{l^0}=\nabla f \cdot \stackrel{\rightarrow}{l^{0}}$
当 $(∇f,l⃗^)=0(\nabla \hat{f, \vec{l}})=0$ (即 $∇f\nabla f$ 与 $l→\stackrel{\rightarrow}{l}$ 夹角为0) 时，方向导数 $∂f∂l⃗\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 取得最大值 $∣∇f∣|\nabla f|$ .

02 梯度的意义

梯度的方向是方向导数取最大值时的方向；
梯度的方向也是函数变化率最大的方向；
梯度的模是方向导数的最大值。

03 梯度的运算法则

运算符号
- 运算符号 $∇\nabla$ ——梯度算子（一种运算符）
- $∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\ ,\ \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
运算法则
- $∇(c1u+c2v)=c1∇u+c2∇v\nabla\left(c_{1} u+c_{2} v\right)=c_{1} \nabla u+c_{2} \nabla v$ （ $c_1,c_2$ 是常数）
- $∇(uv)=v∇u−u∇vv2\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v \ \ , \ \ \nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}}$
- $∇(g(u,v))=gu∇u+gv∇v\nabla(f(u))=f^{\prime}(u) \nabla u \ \ , \ \ \nabla(g(u, v))=g_{u} \nabla u+g_{v} \nabla v$

04 梯度的物理意义

当 $u$ 是一个物理量时， $∇u\nabla u$ 是它的梯度场。它不依赖坐标系的选择。

例如 $u$ 是电位时 $u=q4πεru=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r}$ 那么 $∇u=−q4πεr∣r∣3\nabla u=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon} \frac{r}{|r|^{3}}$ 给出了电场强度。

（其中 $r = (x, y, z)$ ， $∣ r ∣$ 是它的模）

第七节多元微分学在几何上的应用

一、空间曲线的切线及法平面

01 定义

(1) 切线

设 $M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)$ 是空间曲线 $Γ\Gamma$ 上的点，若当

点 $M$ 沿曲线趋于 $M_{0}$ 时，割线 $M_{0} M$ 趋向极限位置为直线 $M_{0} T$ ，

称此直线为曲线 $Γ\Gamma$ 在点 $M_{0}$ 处的切线。

在这里插入图片描述

(2) 法平面

过点 $M_{0}$ 与切线垂直的平面称为曲线的法平面。

02 方程

(1) 空间曲线的参数方程

设空间曲线 $Γ\Gamma$ 的参数方程 $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ ，

(2) 割线的方向向量

$M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)$ 分别对应参数 $t$ 为 $t0,t0+Δtt_{0}, t_{0}+\Delta t$ ，

割线 $M_{0} M$ 的方向向量 $(Δx,Δy,Δz)//(ΔxΔt,ΔyΔt,ΔzΔt)(\Delta x, \Delta y, \Delta z) / /\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}, \frac{\Delta y}{\Delta t}, \frac{\Delta z}{\Delta t}\right)$

(3) 曲线的切向量

取极限导出 $Γ\Gamma$ 的切向量 $τ⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec{\tau}=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ .

注意，由 $z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t$ $⇒\Rightarrow$ $(d x, d y, d z)$ 也是曲线的切向量

(4) 切线方程

曲线 $Γ\Gamma$ : $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ 在点 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线方程
$\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}$

(5) 法平面方程

在 $M_{0}$ 处的法平面方程
$x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$

二、曲面的切平面与法线

01 定义

(1) 切平面

由曲面 $S$ 上所有过点 $M_0$ 的光滑曲线在 $M_0$ 的切线所组成的平面称为曲面 $S$ 在 $M_0$ 处的切平面。

(2) 法线

过点 $M_0$ 与切平面垂直的直线称为曲面 $S$ 在 $M_0$ 处的法线。

(3) 过曲线上某点的任意曲线

设曲面 $S$ 的方程 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是 $S$ 上一点，

而过 $M_{0}$ 在曲面上的曲线为 $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ .

(4) 曲面上过曲线上某点的任意曲线

曲线在曲面 $S$ 上： $\equiv 0$ .

对方程求关于 $t$ 的导数，得到： $(Fx,Fy,Fz)⋅(x′(t),y′(t),z′(t))=0\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \cdot\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)=0$ .

(5) 曲面过某点切平面的法向量

在对应 $t_{0}$ 的 $M_{0}$ 点，向量 $(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ 总是与 $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 正交。

$(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ 是曲面的切向量； $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 与切向量始终垂直，是切平面的法向量。

(6) 小结

通过以上分析，可以得到：切平面定义的合理性；切平面的法向量： $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ ，也称为 $S$ 的法向量。

02 方程

(1) 切平面方程

$S$ 在 $M_{0}$ 处的切平面方程：
$F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$

(2) 法线方程

$S$ 在 $M_{0}$ 处的法线方程：
$\frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}$

(3) 法向量

若曲面 $S$ 的方程为 $z = f (x, y)$ ，法向量为： $n⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\vec{n}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right)$

03 全微分与切平面

回忆全微分的几何意义，近似曲面的平面正是切平面。

第八节多元函数的极值

一、二元函数的泰勒公式

01 泰勒公式

函数 $f (x, y)$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域有 $n+1\mathrm{n}+1$ 阶连续偏导数。

设函数， $F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)t∈[0,1]F(t)=f\left(x_{0}+t \Delta x, y_{0}+t \Delta y\right) \quad t \in[0,1]$ .

将此函数用泰勒公式展开且取 $t=1\mathrm{t}=1$ ，得到
$f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\left(x_{0}, y_{0}\right)+R_{n}$
其中余项
$R_{n}=\frac{1}{(n+1) !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1))$

02 一阶泰勒公式

当 $n = 1$ 时，得到函数 $f (x, y)$ 的一阶泰勒公式：
$\begin{gathered} f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f\left(x_{0}, y_{0}\right) +\frac{1}{2}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1)) \end{gathered}$

二、多元函数的极值

01 二元函数极值

在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内 $\leq f(x_{0}, y_{0})$ ，称函数 $f$ 在 $x_{0}, y_{0})$ 处取得极大值， $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 称为函数的极大值点；

在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内 $\geq f(x_{0}, y_{0})$ ，称函数 $f$ 在 $x_{0}, y_{0})$ 处取得极小值， $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 称为函数的极小值点。

02 极值的必要条件

$f (x, y)$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取得极值，且 $f$ 可微，则 $fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，并将满足该方程的点称为驻点。

注意，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如，函数 $f (x, y) = x y$ 在 $(0, 0)$ 的情况。

03 极值的充分条件

函数在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域内有连续的二阶偏导数， $fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，

记 $A=fxx(x0,y0)A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ， $B=fxy(x0,y0)B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ， $C=fyy(x0,y0)C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，

则 $B^{2}-A C>0$ 时， $f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不是极值；

当 $B^{2}-A C<0$ 时， $为极大值。A>0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极小值。} \\ A<0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极大值。}$

04 最值问题

原则
- 可微连续函数的最值应在定义域内部驻点或边界点取到；
- 在实际问题中，若最值必在区域内部取得又驻点惟一，则驻点就是最值点。

第九节条件极值——拉格朗日乘数法

一、问题的提法和解法

在许多极值问题中，函数自变量还要满足一些条件 (约束条件)，这样的极值称为条件极值。

例如求函数 $u = f (x, y, z)$ 在约束条件 $φ(x,y,z)=0\varphi(x,y,z)=0$ 下的极值。

二、拉格朗日乘数法

在这里插入图片描述

最后

😊为防止河蟹，链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理，将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框，点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦：
😊熊曰：呋食食呦蜜非象嗚家吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
😊如果嫌麻烦的话请私信咨询博主，谢谢！
😊PS：繁星依月/惟欢/一舟均为博主的马甲，本篇作品完全原创，再次感谢！