高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅱ）_u=u(x,y)和u=f(x,y)有什么区别-优快云博客

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本文详细介绍了多元微积分的基础概念，包括复合函数的微分法、隐函数的偏导数和全微分。阐述了方向导数、切线和平面、梯度向量以及一阶泰勒公式，强调了这些概念在几何上的意义。同时，讨论了多元函数的极值问题，提出了拉格朗日乘数法解决条件极值问题的方法。内容涵盖多元函数微分学的基本原理和实际应用。

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高等数学笔记-乐经良老师

第八章多元函数微分学（Ⅱ）

第五节多元复合函数的微分法

一、复合函数的偏导数

链法则

函数 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ 在 $(x, y)$ 存在偏导数， $z=f(u,v)\mathrm{z}=f(u, v)$ 在相应的 $(u, v)$ 处可微，

则复合函数 $z = f (u (x, y), v (x, y))$ ，存在偏导数

在这里插入图片描述

二、隐函数的偏导数

01 隐函数及其偏导数

设函数 $F$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内有连续偏导数，且 $Fz(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\ , \ F_{z}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，

则方程 $F (x, y, z) = 0$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内可确定唯一的函数 $z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)$ ，

满足 $\equiv 0\ , \ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，且有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}$

02 隐函数组及其偏导数

若函数 $F (x, y, u, v), G (x, y, u, v)$ 在点 $P0(x0,y0,u0,v0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 某一邻域内有连续的偏导数，

且 $F(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ , $G(x0,y0,u0,v0)=0G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ ，

行列式 $J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$ 在点 $P_{0}$ 不等于 0 ，

则 ${F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ 可唯一确定函数 $y)\ ,\ v=v(x, y)$ 满足：
$此方程组\ \left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.\ \ \ 及\ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=u\left(x_{0}, v_{0}\right) \\ v_{0}=v\left(x_{0}, v_{0}\right)\end{array}\right.$
且有连续偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$

03 隐函数存在定理

隐函数的偏导数（同济表述）

(1) 隐函数存在定理01：

设函数 $F (x, y)$ 在点 $P(x0,y0)P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，

且 $Fy(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\ ,\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y) = 0$

在点 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y = f (x)$ ，

它满足条件 $y_{0}=$ $f(x0)f\left(x_{0}\right)$ ，并有：
$\frac{d y}{d x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}$
上述公式即为隐函数的求导公式。

(2) 隐函数存在定理02：

设函数 $F (x, y, z)$ 在点 $P(x0,y0,z0)P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某一邻域内具有连续偏㝵数，

且 $F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y, z) = 0$

在点 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z =$ $f (x, y)$ ，

它满足条件 $z0=f(x0,y0)z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，并有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{z}}{F_{x}}\ \ ,\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{i}} .$

(3) 隐函数存在定理03：

设 $F (x, y, u, v), G (x, y, u, v)$ 在点 $P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，

又 $G(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0\ ,\ G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ ，且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比式)
$J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right|$
在点 $P(x0,y0,u0,v0)P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 不等于零，则方程组 $v)=0\ ,\ G(x, y, u, v)=0$

在点 $(x0,y0,u0,v0)\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

$u = u (x, y), v = v (x, y)$ ，它们满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$ ，并有：
$\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} . \end{aligned}$

三、一阶全微分形式不变性

01 一阶全微分形式的不变性

函数 $z = f (u, v)$ 的全微分
$z=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v$
若 $u, v$ 又是 $x, y$ 的可微函数 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ ，
$u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\ \ ,\ \ d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y$
复合函数 $z = f (u (x, y), v (x, y))$ 的全微分为
$\begin{aligned} d z &=\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) d y\\ & =\frac{\partial f}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y\right)=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v \end{aligned}$
对 $f = f (u, v)$ ，无论 $u, v$ 是自变量或函数，均满足
$f=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v$

02 多元函数全微分运算法则

$\begin{aligned} &(1)\ \ \ d(u \pm v)=d u \pm d v \\ &(2)\ \ \ d(u v)=u d v+v d u \\ &(3)\ \ \ d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v d u-u d v}{v^{2}} \quad(v \neq 0) \end{aligned}$

03 求隐函数一阶偏导的小技巧

在求隐函数（尤其是隐函数组）所有一阶偏导数时，利用微分形式不变性较简便

第六节方向导数与梯度

一、方向导数

01 方向导数的定义

(1) 定义

非零向量 $l⃗\vec{l}$ 的方向余弦为 $cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha, \cos \beta$ ，函数 $z = f (x, y)$ 沿 $l⃗\vec{l}$ 的方向导数为
$\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$

(2) 意义

偏导数是函数在沿坐标轴方向上的变化率；

方向导数则是沿其他方向的变化率。

02 充分条件和计算公式

若 $z = f (x, y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，向量 $l⃗\vec{l}$ 的方向余弦为 $cos⁡α,cos⁡β\cos \alpha,\cos \beta$ ，则在 $P_0$ 点存在方向导数
$\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta$

二、梯度

01 梯度的定义

函数 $f (x, y)$ 在点 $P_{0}(x, y)$ 的梯度为
$\left.\nabla f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$
简记为 $\nabla f=\left(f_{x}, f_{y}\right) $ .（可推广至三维情况）

利用梯度的符号, 得到
$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\cdot \vec{l^0}=\nabla f \cdot \stackrel{\rightarrow}{l^{0}}$
当 $(∇f,l⃗^)=0(\nabla \hat{f, \vec{l}})=0$ (即 $∇f\nabla f$ 与 $l→\stackrel{\rightarrow}{l}$ 夹角为0) 时，方向导数 $∂f∂l⃗\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 取得最大值 $∣∇f∣|\nabla f|$ .

02 梯度的意义

梯度的方向是方向导数取最大值时的方向；
梯度的方向也是函数变化率最大的方向；
梯度的模是方向导数的最大值。

03 梯度的运算法则

运算符号
- 运算符号 $∇\nabla$ ——梯度算子（一种运算符）
- $∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\ ,\ \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
运算法则
- $∇(c1u+c2v)=c1∇u+c2∇v\nabla\left(c_{1} u+c_{2} v\right)=c_{1} \nabla u+c_{2} \nabla v$ （ $c_1,c_2$ 是常数）
- $∇(uv)=v∇u−u∇vv2\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v \ \ , \ \ \nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}}$
- $∇(g(u,v))=gu∇u+gv∇v\nabla(f(u))=f^{\prime}(u) \nabla u \ \ , \ \ \nabla(g(u, v))=g_{u} \nabla u+g_{v} \nabla v$

04 梯度的物理意义

当 $u$ 是一个物理量时， $∇u\nabla u$ 是它的梯度场。它不依赖坐标系的选择。

例如 $u$ 是电位时 $u=q4πεru=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r}$ 那么 $∇u=−q4πεr∣r∣3\nabla u=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon} \frac{r}{|r|^{3}}$ 给出了电场强度。

（其中 $r = (x, y, z)$ ， $∣ r ∣$ 是它的模）

第七节多元微分学在几何上的应用

一、空间曲线的切线及法平面

01 定义

(1) 切线

设 $M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)$ 是空间曲线 $Γ\Gamma$ 上的点，若当

点 $M$ 沿曲线趋于 $M_{0}$ 时，割线 $M_{0} M$ 趋向极限位置为直线 $M_{0} T$ ，

称此直线为曲线 $Γ\Gamma$ 在点 $M_{0}$ 处的切线。

在这里插入图片描述

(2) 法平面

过点 $M_{0}$ 与切线垂直的平面称为曲线的法平面。

02 方程

(1) 空间曲线的参数方程

设空间曲线 $Γ\Gamma$ 的参数方程 $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ ，

(2) 割线的方向向量

$M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)$ 分别对应参数 $t$ 为 $t0,t0+Δtt_{0}, t_{0}+\Delta t$ ，

割线 $M_{0} M$ 的方向向量 $(Δx,Δy,Δz)//(ΔxΔt,ΔyΔt,ΔzΔt)(\Delta x, \Delta y, \Delta z) / /\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}, \frac{\Delta y}{\Delta t}, \frac{\Delta z}{\Delta t}\right)$

(3) 曲线的切向量

取极限导出 $Γ\Gamma$ 的切向量 $τ⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec{\tau}=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ .

注意，由 $z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t$ $⇒\Rightarrow$ $(d x, d y, d z)$ 也是曲线的切向量

(4) 切线方程

曲线 $Γ\Gamma$ : $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ 在点 $M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线方程
$\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}$

(5) 法平面方程

在 $M_{0}$ 处的法平面方程
$x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$

二、曲面的切平面与法线

01 定义

(1) 切平面

由曲面 $S$ 上所有过点 $M_0$ 的光滑曲线在 $M_0$ 的切线所组成的平面称为曲面 $S$ 在 $M_0$ 处的切平面。

(2) 法线

过点 $M_0$ 与切平面垂直的直线称为曲面 $S$ 在 $M_0$ 处的法线。

(3) 过曲线上某点的任意曲线

设曲面 $S$ 的方程 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是 $S$ 上一点，

而过 $M_{0}$ 在曲面上的曲线为 $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ .

(4) 曲面上过曲线上某点的任意曲线

曲线在曲面 $S$ 上： $\equiv 0$ .

对方程求关于 $t$ 的导数，得到： $(Fx,Fy,Fz)⋅(x′(t),y′(t),z′(t))=0\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \cdot\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)=0$ .

(5) 曲面过某点切平面的法向量

在对应 $t_{0}$ 的 $M_{0}$ 点，向量 $(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ 总是与 $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 正交。

$(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)$ 是曲面的切向量； $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 与切向量始终垂直，是切平面的法向量。

(6) 小结

通过以上分析，可以得到：切平面定义的合理性；切平面的法向量： $(Fx,Fy,Fz)\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ ，也称为 $S$ 的法向量。

02 方程

(1) 切平面方程

$S$ 在 $M_{0}$ 处的切平面方程：
$F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$

(2) 法线方程

$S$ 在 $M_{0}$ 处的法线方程：
$\frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}$

(3) 法向量

若曲面 $S$ 的方程为 $z = f (x, y)$ ，法向量为： $n⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\vec{n}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right)$

03 全微分与切平面

回忆全微分的几何意义，近似曲面的平面正是切平面。

第八节多元函数的极值

一、二元函数的泰勒公式

01 泰勒公式

函数 $f (x, y)$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域有 $n+1\mathrm{n}+1$ 阶连续偏导数。

设函数， $F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)t∈[0,1]F(t)=f\left(x_{0}+t \Delta x, y_{0}+t \Delta y\right) \quad t \in[0,1]$ .

将此函数用泰勒公式展开且取 $t=1\mathrm{t}=1$ ，得到
$f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\left(x_{0}, y_{0}\right)+R_{n}$
其中余项
$R_{n}=\frac{1}{(n+1) !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1))$

02 一阶泰勒公式

当 $n = 1$ 时，得到函数 $f (x, y)$ 的一阶泰勒公式：
$\begin{gathered} f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f\left(x_{0}, y_{0}\right) +\frac{1}{2}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1)) \end{gathered}$

二、多元函数的极值

01 二元函数极值

在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内 $\leq f(x_{0}, y_{0})$ ，称函数 $f$ 在 $x_{0}, y_{0})$ 处取得极大值， $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 称为函数的极大值点；

在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内 $\geq f(x_{0}, y_{0})$ ，称函数 $f$ 在 $x_{0}, y_{0})$ 处取得极小值， $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 称为函数的极小值点。

02 极值的必要条件

$f (x, y)$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取得极值，且 $f$ 可微，则 $fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，并将满足该方程的点称为驻点。

注意，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如，函数 $f (x, y) = x y$ 在 $(0, 0)$ 的情况。

03 极值的充分条件

函数在点 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域内有连续的二阶偏导数， $fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，

记 $A=fxx(x0,y0)A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ， $B=fxy(x0,y0)B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ， $C=fyy(x0,y0)C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，

则 $B^{2}-A C>0$ 时， $f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不是极值；

当 $B^{2}-A C<0$ 时， $为极大值。A>0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极小值。} \\ A<0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极大值。}$

04 最值问题

原则
- 可微连续函数的最值应在定义域内部驻点或边界点取到；
- 在实际问题中，若最值必在区域内部取得又驻点惟一，则驻点就是最值点。

第九节条件极值——拉格朗日乘数法

一、问题的提法和解法

在许多极值问题中，函数自变量还要满足一些条件 (约束条件)，这样的极值称为条件极值。

例如求函数 $u = f (x, y, z)$ 在约束条件 $φ(x,y,z)=0\varphi(x,y,z)=0$ 下的极值。

二、拉格朗日乘数法

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最后

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