高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅱ）

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#概率论 #线性代数 #几何学

于 2022-04-29 10:17:31 首次发布

本文详细介绍了多元微积分的基础概念，包括复合函数的微分法、隐函数的偏导数和全微分。阐述了方向导数、切线和平面、梯度向量以及一阶泰勒公式，强调了这些概念在几何上的意义。同时，讨论了多元函数的极值问题，提出了拉格朗日乘数法解决条件极值问题的方法。内容涵盖多元函数微分学的基本原理和实际应用。

高等数学笔记-乐经良老师

第八章多元函数微分学（Ⅱ）

第五节多元复合函数的微分法

一、复合函数的偏导数

链法则

函数 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ 在 $(x, y)$ 存在偏导数， $z=f(u,v)\mathrm{z}=f(u, v)$ 在相应的 $(u, v)$ 处可微，

则复合函数 $z = f (u (x, y), v (x, y))$ ，存在偏导数

在这里插入图片描述

二、隐函数的偏导数

01 隐函数及其偏导数

设函数 $F$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内有连续偏导数，且 $Fz(x0,y0)≠0F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\ , \ F_{z}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$ ，

则方程 $F (x, y, z) = 0$ 在 $(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 邻域内可确定唯一的函数 $z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)$ ，

满足 $\equiv 0\ , \ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，且有：
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}$

02 隐函数组及其偏导数

若函数 $F (x, y, u, v), G (x, y, u, v)$ 在点 $P0(x0,y0,u0,v0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)$ 某一邻域内有连续的偏导数，

且 $F(x0,y0,u0,v0)=0F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ , $G(x0,y0,u0,v0)=0G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0$ ，

行列式 $J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$ 在点 $P_{0}$ 不等于 0 ，

则 $F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ 可唯一确定函数 $y)\ ,\ v=v(x, y)$ 满足：
$此方程组\ \left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.\ \ \ 及\ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=u\left(x_{0}, v_{0}\right) \\ v_{0}=v\left(x_{0}, v_{0}\right)\end{array}\right.$
且有连续偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}$