高等数学 · 空间解析几何与向量代数理论笔记小结

一、向量代数

1. 向量的定义

具有大小和方向的量称为向量；只有大小的量称为数量(实数)。向量可以用有向线段来表示 $\overrightarrow{AB}$ 来表示。

2. 向量的模

向量 $\alpha$ 的长度称为向量的模，记为 $|\alpha |$。模为 $1$ 的向量称为单位向量；长度为零的向量零向量，记为 $0$。对两个向量的夹角 $\theta$，规定 $0\le 0\le \pi$。

3. 基本单位向量

与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$轴三个坐标轴同方向的单位向量分别记为 $i,j,k$，称为基本单位向量。

4. 向量的方向角与方向余弦

非零向量 $a$ 分别与 $x$轴、$y$轴、$z$轴三个坐标轴正向的夹角 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 称为 $a$ 的方向角；$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 称为 $a$ 的方向余弦。

5. 向量的坐标表示

若 $\alpha$ 分别在 $x$轴、$y$轴、$z$轴三个坐标轴上的投影为 $a$,$b$,$c$，则 $\alpha =ai+bj+ck$，记为 a = { a , b , c } a = \{a, b, c\} a={ a,b,c}，并称 $a,b,c$ 为向量 $\alpha$ 的坐标。此时 $|a|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。
对于给定的点 $M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$，则 M 1 M 2 → = ( x 2 − x 1 ) i + ( y 2 − y 1 ) j + ( z 2 − z 1 ) k = { x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 } 。 \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1)i + (y_2 - y_1)j + (z_2 - z_1)k = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\} 。 M1​M2​ ​=(x2​−x1​)i+(y2​−y1​)j+(z2​−z1​)k={ x2​−x1​,y2​−y1​,z2​−z1​}。

6. 向量的线性运算

给定向量 $\alpha ,\beta$ 及数量 $\lambda$，可定义向量的加法 $\alpha +\beta$ 及数量乘法$\lambda \alpha$，统称为向量的线性运算，其满足运算律：

1. 加法交换律 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$;
2. 加法结合律，$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$;
3. 数量乘法结合律 $\lambda (\mu \alpha )=\mu (\lambda \alpha )=(\mu \lambda )\alpha$，其中 $\lambda$ 与 $\mu$ 是数量;
4. 数量乘法对于数量加法的分配律 $(\lambda +\mu )\alpha =\lambda \alpha +\mu \alpha$;
5. 数量乘法对于向量加法的分配律 $\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$.

7. 向量的数量积

给定向量 $\alpha$ 与 $\beta$。它们的数量积定义为 $\alpha \cdot \beta =|\alpha |\cdot |\beta |\cos \phi$，其中 $\phi$ 是 $\alpha$与 $\beta$ 的夹角。
数量积满足下列运算律：

1. 交换律 $\alpha \cdot \beta =\beta \cdot \alpha$;
2. 结合律 $\lambda (\alpha \cdot \beta )=(\lambda \alpha )\cdot \beta )=\alpha \cdot (\lambda \beta )$，其中 $\lambda$ 是数量;
3. 分配律 $(\alpha +\beta )\cdot \gamma =(\alpha \cdot \gamma +\beta \cdot \gamma )$

8. 向量的向量积

给定两个向量 $\alpha$ 与 $\beta$，它们的向量积定义为一个向量，记为 $\alpha \times \beta$，满足：

1. $|\alpha \times \beta |=|\alpha |\cdot |\beta |\sin \phi$，其中 $\phi$ 是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角；
2. $\alpha \times \beta$ 的方向垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 所在的平面，并且与 $\alpha ,\beta$ 符合右手法则。

向量积满足下列运算律:

1. 反交换律 $\alpha \times \beta =-(\beta \times \alpha )$;
2. 结合律 $\lambda (\alpha \times \beta )=(\lambda \alpha )\times \beta$
3. 左分配律 $\gamma \times (\alpha +\beta )=\gamma \times \alpha +\gamma \times \beta$,
   右分配律 $(\alpha +\beta )\times \gamma =\alpha \times \gamma +\beta \times \gamma$.

9. 向量及其坐标的有关公式

给定向量 α = { a 1 , a 2 , a 3 } , β = { b 1 , b 2 , b 3 } \alpha = \{ a_1, a_2, a_3 \}, \beta = \{b_1, b_2, b_3\} α={ a1​,a2​,a3​},β={ b1​,b2​,b3​}及数量 $\lambda$，则

1. λ α = { λ a 1 , λ a 2 , λ a 3 } , α ± β = { a 1 ± b 1 , a 2 ± b 2 , a 3 ± b 3 } \lambda \alpha = \{ \lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3 \}, \alpha \pm \beta = \{a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3 \} λα={ λa1​,λa2​,λa3​},α±β={ a1​±b1​,a2​±