高等数学笔记-乐经良老师-第三章-导数和微分

高等数学笔记-乐经良老师

第三章 导数和微分

第一节 导数的概念

一、例子

01 速度

运动物体的路程函数 $S(t)$，时间从 $t_0\to t_0+\Delta t$，路程 $\Delta S=S\left(t_0+\Delta t\right)-S\left(t_0\right)$
$$\begin{array}{rl}& 平均速度:\frac{\Delta S}{\Delta t}\\ & t_0时刻的瞬时速度：\\ & \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta S}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{S\left(t_0+\Delta t\right)-S\left(t_0\right)}{\Delta t}\end{array}$$

02 斜率

求函数曲线 $y=f(x)$ 上点 $M_0\left(x_0,y_0\right)$ 处的切线。

设 $M_{0}M$ 是过 $M_0$ 点的割线，沿曲线 $M\to M_0$ 割线极限位置的直线，即切线。

割线斜率：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
切线斜率：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$

03 线密度

横截面很小 ( 为一个单位 ) 的细线棒，置于数轴上原点左侧，从 0 点到 $x$ 点处一段质量为 $m(x)$，

$x_0\to x_0+\Delta x$ 一段的平均线密度
$$\frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{m\left(x_0+\Delta x\right)-m\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
$x_0$ 点的线密度
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta m}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{m\left(x_0+\Delta x\right)-m\left(x_0\right)}{\Delta x}$$

二、定义

01 导数

(1) 导数的定义

若 $y=y(x)$ 在 $x=x_0$ 的邻域有定义，则
$$f^{\prime }\left(x_0\right)\stackrel{def}{=}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$
称为 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的导数（微商），

自变量增量 $\Delta x=x-x_0$，函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，也可以用增量的写法：
$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}$$
导数的等价形式：
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
导数的其他记号（等价表述）：
$$y^{\prime }(x_0),{y^{\prime }|}_{x=x_0},{f^{\prime }|}_{x=x_0},\frac{df\left(x_0\right)}{dx},{\frac{df}{dx}|}_{x=x_0},{\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}$$

(2) 导数的几何意义

表述函数曲线 $y=y(x)$ 在该点切线的斜率。

(3) 导数不存在的一种情况

当 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\infty$ 时导数不存在，但可以说导数为 $\infty$，此时曲线在该点切线与 $x$ 轴垂直。

02 单侧导数

• 左导数与右导数
  $$\begin{array}{rl}& 右导数f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}\\ & 左导数f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}\end{array}$$

• 命题
  $$f^{\prime }\left(x_0\right)存在\Rightarrow f_{+}^{\prime }\left(x_0\right),f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)存在且相等。$$

• 小结论
  $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\alpha h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\alpha f^{\prime }\left(x_0\right)$$

03 导函数

$y=f(x)$ 在区间 $I$ 内每点有导数，在 $I$ 的闭端点有单侧导数，

则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 可导，记为 $f(x)\in \mathrm{D}(I)$，$f^{\prime }(x)$ 称为 $f(x)$ 的导函数。

注意，开区间内可导和闭区间上可导。

三、可导与连续的关系

01 可导必连续

$\Delta f=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$ 增量公式

02 连续未必可导

• 典型例子
  • $f(x)=|x|$
  • $f(x)=\{\begin{array}{cc}x\sin \frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$

第二节 微分

一、定义

对 $y=f(x)$ 考虑增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 有增量公式
$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$$
其中 $f^{\prime }(x)\Delta x$ 称为线性主部（线性；主要部分）

01 微分

若 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处的增量 $\Delta y$ 可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（$A$ 与 $\Delta x$ 无关，常数）

称 $f(x)$ 在 $x$ 可微，$A\Delta x$ 为 $y=f(x)$ 在 $x$ 处的微分，记为 $dy=A\Delta x$ .（$dy\approx \Delta y$）

02 可微与可导

• 可微 $\iff$ 可导，且 $dy=f^{\prime }(x)\Delta x$
• 由 $dx=\Delta x\Rightarrow dy=f^{\prime }(x)dx$

03 几何意义

函数曲线在垂直方向上的变化用切线在垂直方向的变化代替。

$\Delta y$ 与 $dy$ 的几何意义：(1) $\Delta y$：函数纵坐标增量；(2) $dy$：切线上纵坐标增量。

二、微分的应用

第三节 导数与微分的运算法

一、函数和差积商的导数

若 $u(x),v(x)\in D(I)$，则 $u(x)\pm v(x),u(x)v(x),\frac{u(x)}{v(x)}(v(x)\ne 0)$ 均在 $I$ 可导，

且成立
$$\begin{array}{rl}& (1)(u(x)\pm v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)\\ & (2)(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)\\ & (3){\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}\end{array}$$
特别有
$$(cu(x){)}^{\prime }=c{u}^{\prime }(x),{\left(\frac{1}{v(x)}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$$

二、反函数的导数

$x=f(y)$ 在区间 $I$ 严格单调、可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在对应 $y$ 的 $x$ 可导，且
$${\left(f^{-1}(x)\right)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)},即\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}或y_x^{\prime }=\frac{1}{x_y^{\prime }}$$

三、复合函数的导数（链法则）

01 复合函数的导数

$u=\phi (x)$ 在 $x$ 可导，$f(u)$ 在对应 $x$ 的 $u$ 处可导，则复合函数 $f(\phi (x))$ 在 $x$ 可导，且
$$(f(\phi (x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$$
或写为
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}{y}_x^{\prime }=y_u^{\prime }{u}_x^{\prime }$$
链法则：反映复合过程 $y\to u\to x$

02 幂指函数的导数

(1) 幂指函数的导数

​ $y=f(x{)}^{g(x)}\Rightarrow y=e^{g(x)\ln f(x)}$

(2) 幂指函数求导示例

​ 求 $y=x^{\sin x}$ 的导数

03 对数求导法

(1) 对数求导法

​ $y=f(x{)}^{g(x)}\Rightarrow \ln y=g(x)\ln f(x)$

​ 注意，多因子相乘的函数也可用对数求导法

(2) 对数求导法示例

​ 求 $y=\frac{\sin x\sqrt{3x-2}}{\sqrt[3]{(x-2{)}^2}}$ 的导数

​ 问题：初等函数在有定义处都可导吗？

四、导数表

$$\begin{array}{rl}& (c{)}^{\prime }=0{\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}{\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln x{e}^x=e^x\\ & {\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\\ & (\sin x{)}^{\prime }=\cos x(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x\\ & (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x\\ & (\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\\ & (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ & (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

五、微分运算法

01 利用可微与可导的关系导出

$$\begin{array}{rl}& d(u\pm v)=du\pm dv\\ & d(uv)=vdu+udv\\ & d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}\end{array}$$

02 一阶微分形式不变性

对 $y=f(u)$，无论 $u$ 是自变量还是函数，总有 $dy=f^{\prime }(u)du$ .

03 微分在近似计算中的应用

(1) 近似计算

$$\begin{array}{rl}& \Delta f=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)=df+o(\Delta x)\\ \Rightarrow & \Delta f\approx df\\ \Rightarrow & f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x\end{array}$$

(2) 误差问题

若 $x$ 为准确值，$x_0$ 为测量值，有以下概念：
$$\begin{array}{rl}& 绝对误差:|\Delta x|=\left|x-x_0\right|\\ & 相对误差:\frac{|\Delta x|}{|x_0|}\\ & 最大绝对误差:|\Delta x|不超过\delta \\ & 最大相对误差:\frac{\delta }{|x_0|}\\ & 计算式y=f(x)引起的绝对和相对误差\\ & |\Delta y|\approx |f^{\prime }(x_0)|\cdot |\Delta x|\le |f^{\prime }(x_0)|\delta \end{array}$$

第四节 隐函数求导法

一、隐函数的导数

原则：利用复合函数求导法，分清哪个是自变量、哪个是因变量（函数）？

二、参数方程形式函数的导数

$$\begin{array}{rl}& 参数方程形式函数的导数\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}t\text{ 为参数 }\\ & 利用链法则\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}或y_x^{\prime }=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\end{array}$$

第五节 导数概念在实际问题中的应用

相关变化率问题

圆锥形水池高 $H=10\mathrm{m}$，上底面半径 $R=4m$，

以 $v=5m^3/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ 的速度注水入池，求水深 5 米时池中水面上升的速度。

第六节 高阶导数

一、定义

01 二阶导数

$f(x)$ 在 $x_0$ 的二阶导数
$${f^{\prime \prime }\left(x_0\right)\stackrel{def}{=}{\left(f^{\prime }(x)\right)}^{\prime }|}_{x=x_0}$$
还可以记为
$${f^{\prime \prime }|}_{x=x_0}\text{ 或 }{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}|}_{x=x_0}$$
若 $f(x)$ 在区间 $I$ 的每点 $x$ 有二阶导数，则称 $f(x)$ 在 $I$ 二阶可导，

$f^{\prime \prime }(x)$ 称为 $f(x)$ 的二阶导函数 ( 简称二阶导数 ) 。

02 $n$ 阶导数

归纳地定义
$$f^{(n)}\left(x_0\right)={{\left(f^{(n-1)}(x)\right)}^{\prime }|}_{x=x_0}$$
称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的 $n$ 阶导数，可记为
$${f^{(n)}|}_{x=x_0}\text{ 或 }{\frac{d^{n}f}{d{x}^n}|}_{x=x_0}$$
若 $f(x)$ 在区间 $I$ 的每点 $x$ 有 $n$ 阶导数，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上 $n$ 阶可导，

$f^{(n)}(x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 阶导函数。若 $f^{(n)}(x)$ 在区间 $I$ 连续，记为 $f(x)\in C^n(I)$ 。

二、运算法则

01 主要法则

$$\begin{array}{rl}& (u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ & (cu{)}^{(n)}=c{u}^{(n)}\\ & (uv{)}^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots +C_n^{n-1}{u}^{\prime }{v}^{(n-1)}+u{v}^{(n)}\\ & (莱布尼兹法则)\end{array}$$

02 隐函数的高阶导数

$$\begin{array}{rl}& (1)求由e^y+xy=e所确定的隐函数y=y(x)在x=0处的二阶导数\\ & (2)\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}求二阶导数\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\\ & (3)y=\arcsin x,求y^{(n)}(0)\\ & (4)将方程\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-\frac{x}{1-x^2}\frac{dy}{dx}+\frac{y}{1-x}=0由变换x=\cos t化为y关于t的方程。\end{array}$$