一、无穷区间上的反常积分
定义
定义1
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
+
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim _{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx
上述极限存在，则反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx收敛；反之，反常积分
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
∫a+∞f(x)dx发散。
定义2
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
−
∞
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)\mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx=t→−∞lim∫tbf(x)dx
上述极限存在，则反常积分
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx收敛；反之，反常积分
∫
−
∞
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm{d}x
∫−∞bf(x)dx发散。
定义3
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx
反常积分
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x
∫−∞0f(x)dx和
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
∫0+∞f(x)dx都收敛，则反常积分
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
∫−∞+∞f(x)dx收敛。
判别敛散性
定理1 (比较判别法)
设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)在
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞)上连续，且
0
⩽
f
(
x
)
⩽
g
(
x
)
0\leqslant f(x)\leqslant g(x)
0⩽f(x)⩽g(x)，则
1
)
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
1)\displaystyle\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x
1)∫a+∞g(x)dx 收敛
⇒
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
⇒∫a+∞f(x)dx 收敛
2
)
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
2)\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
2)∫a+∞f(x)dx 发散
⇒
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x
⇒∫a+∞g(x)dx 发散
定理2 (比较判别法的极限形式)
设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)在
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞)非负连续，
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
λ
\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda
x→+∞limg(x)f(x)=λ，则
1
)
λ
>
0
，
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
1)\ \lambda>0，\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
1) λ>0，∫a+∞f(x)dx 与
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x
∫a+∞g(x)dx 同敛散；
2
)
λ
=
0
，
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
2)\ \lambda=0，\displaystyle\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x
2) λ=0，∫a+∞g(x)dx 收敛
⇒
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
⇒∫a+∞f(x)dx 收敛；
3
)
λ
=
+
∞
，
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
3)\ \lambda=+\infty，\displaystyle\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x
3) λ=+∞，∫a+∞g(x)dx 发散
⇒
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
⇒∫a+∞f(x)dx 发散.
常用结论:
∫
a
+
∞
1
x
P
d
x
{
P
>
1
收敛
P
⩽
1
发散
(
a
>
0
)
\textbf{常用结论:} \displaystyle\int_{a}^{+\infty}\frac1{x^P}\mathrm{d}x \begin{cases}P>1 &\text{收敛} \\ P\leqslant 1 &\text{发散}\end{cases}\ (a>0)
常用结论:∫a+∞xP1dx{P>1P⩽1收敛发散 (a>0)
二、无界函数的反常积分
定义
定义1 设点
a
a
a为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的瑕点
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
a
+
∫
t
b
f
(
x
)
d
x
\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx
定义2 设点
b
b
b为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的瑕点
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=t→b−lim∫atf(x)dx
定义3 设点
c
c
c为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的瑕点
(
a
<
c
<
b
)
(a<c<b)
(a<c<b)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
判别敛散性
定理1 (比较判别法)
设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)在
(
a
,
b
]
(a,b]
(a,b]上连续，且
0
⩽
f
(
x
)
⩽
g
(
x
)
0\leqslant f(x)\leqslant g(x)
0⩽f(x)⩽g(x) ,则
1
)
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
1)\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x
1)∫abg(x)dx 收敛
⇒
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x
⇒∫abf(x)dx 收敛；
2
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
2)\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
2)∫abf(x)dx 发散
⇒
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x
⇒∫abg(x)dx 发散.
定理2 (比较判别法的极限形式)
设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)在
(
a
,
b
]
(a,b]
(a,b]非负连续，
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
λ
\lim\limits_{x\to a^{+}}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda
x→a+limg(x)f(x)=λ，则
1
)
λ
>
0
，
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1)\ \lambda>0，\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x
1) λ>0，∫abf(x)dx 与
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\displaystyle\int_a^bg(x)\mathrm{d}x
∫abg(x)dx 同敛散；
2
)
λ
=
0
，
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
2)\ \lambda=0，\displaystyle\int_a^bg(x)\mathrm{d}x
2) λ=0，∫abg(x)dx 收敛
⇒
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x
⇒∫abf(x)dx 收敛；
3
)
λ
=
+
∞
，
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
3)\ \lambda=+\infty，\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x
3) λ=+∞，∫abg(x)dx 发散
⇒
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x
⇒∫abf(x)dx 发散.
常用结论:
∫
a
b
1
(
x
−
a
)
p
d
x
,
∫
a
b
1
(
b
−
x
)
p
d
x
{
P
<
1
收敛
P
⩾
1
发散
\textbf{常用结论:}\displaystyle\int_a^b\frac1{(x-a)^p}dx,\int_a^b\frac1{(b-x)^p}dx\begin{cases}P<1&\text{收敛}\\P\geqslant1&\text{发散}\end{cases}
常用结论:∫ab(x−a)p1dx,∫ab(b−x)p1dx{P<1P⩾1收敛发散
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