定积分的基本性质2 乘积可积性

性质2 乘积可积性

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)g(x)$ 在 $[a, b]$ 上 也可积。

证明：

$f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，
于是 $\exists M > 0,$ 使得 $\forall x \in [a, b], |f(x)| \lt M, |g(x)| \lt M,$
对于区间 $[a,b]$ 的任意一个划分 $P$， $\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,$
令 $M_i = \sup \{f(x)g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},$
$m_i = \inf \{f(x)g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},$
$w_i = M_i - m_i,$

令 $M_i' = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},$
$m_i' = \inf \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},$
w′i=M′i−m