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原创积分学＜6＞——反常积分

若函数fxfx在区间a∞a∞a∈Ra∈R)上有定义,且∀Aa∀Aa若函数fxfx在aAaA上可积,构造变上限积分FA∫aAfxdxFA∫aAfxdx若极限lim⁡A→∞FAlim⁡A→∞∫aAfxdxF∞−FalimA→∞FAlimA→∞∫aAfxdxF∞−Fa存在且有限,则称反常积分∫a∞f。

2024-04-15 20:47:01 1153

原创积分学＜5＞——微积分基本定理

函数Fx∫axftdtFx∫axftdt称为变上限积分,x∈abx∈ab为自变量,ttt为参数。

2024-04-14 18:57:37 1086

原创积分学＜4＞——定积分的性质

上可积,则可取一个划分P,设c为P的一个分点x_{k}(如不然,将c作为新分点添加入划分P,根据引理3.1,取一个包含分点c=x_{r}的划分P,设在闭区间。根据定积分的保序性和线性性,根据定积分的线性性,函数。根据数列极限的保序性,上均可积,反之亦然,且。

2024-04-14 16:53:08 1167

原创积分学＜3＞——定积分与可积条件

若函数fxfx是闭区间abab上的有界函数,对闭区间abab作划分Pxi−1xi∣x0a≤xi−1xi≤xnb1≤i≤ni∈NPxi−1xi∣x0a≤xi−1xi≤xnb1≤i≤ni∈N,也就是选取包含闭区间abab左端点a和右端点b在内的n1n+1n1个点xix_{i}xi将闭区间abab分为n−1。

2024-04-11 21:31:59 1646

原创积分学＜2＞——换元积分法和分部积分法

若fxfxg′x,且∫fuduFuC,则∫fxdxFgxC。Fgx′F′gx⋅g′xfgxg′xfx。xφt,且反函数φ−1xt存在,则∫fxdx∫fφtφ′tdtFφ−1xC。Fφ−1x′φ′tF′φ−1xφ′tfφtφ′tfφtfx。fxuxvx,dfxuxdv。

2024-04-10 13:54:49 923

原创积分学＜1＞——不定积分

若函数f\left ( x \right )在区间X上有定义,且F^{\prime } \left ( x \right ) =f\left ( x \right ),则称F\left ( x \right )为f\left ( x \right )的一个原函数。

2024-04-09 20:09:04 344

原创微分学＜6＞——Taylor公式

时,Taylor公式表现为Lagrange中值定理的形式。连续引用n-1次L’Hospital法则,在Taylor近似时产生的误差,余下的。,其中Lagrange余项。引用Cauchy中值定理,阶导数均存在,则存在邻域。阶导函数一定连续且可导。次Taylor多项式。阶连续导数,在开区间。

2024-03-21 02:51:01 1471

原创微分学＜5＞——L‘Hopital法则

L’Hopital法则同样适用于。根据数列极限的定理2.1,根据数列极限的定理2.1,根据Cauchy中值定理,根据Cauchy中值定理,根据函数极限的局部保序性,引用函数极限的局部保号性,根据Cauchy中值定理,根据函数极限的局部保序性,引用函数极限的局部保号性,以"0"代表无穷小量,"直接应用的结论,

2024-03-20 00:04:22 1298

原创微分学＜4＞——微分中值定理

若存在x0x_{0}x0的邻域Ux0δUx0δ,使得∀x∈Ux0δ∀x∈Ux0δfx≤fx0fx≤fx0,则称x0x_{0}x0是函数fxfx的一个极大值点。若存在x0x_{0}x0的邻域Ux0δUx0δ,使得∀x∈Ux0δ∀x∈Ux0δfx≥fx0fx≥fx0,则称x0x_{0}x0。

2024-03-09 18:52:25 2775

原创微分学＜3＞——高阶导数

若yfxyfx的前n−1n-1n−1阶导函数均存在,且第n−1n-1n−1阶导函数可导,则将fxfx的第n−1n-1n−1阶导函数的求导产物称为fxfx的nnn阶导函数,记作fn−1x′fnxfn−1x′fnx或dnydxndnydxndxndnydxndnydnfdxndnfdxndxndnfdxnd。

2024-03-08 17:38:03 1585

原创微分学＜2＞——导数的定义与求导法则

若yfxyfx可微,则当Δx→0Δx→0时,有lim⁡Δx→0ΔyΔxlim⁡Δx→0fx△x−fxΔxlimΔx→0ΔxΔylimΔx→0Δxfx+△x−fx存在,则称函数yfxyfx可导,称lim⁡Δx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔxΔy为fxfx的导函数f′xdydxdfdxf。

2024-03-05 14:52:05 1948

原创微分学＜1＞——微分

若yfxyfxx0∈Dfx0∈Df∃gx0∃gx0∀ΔxΔx→0∀ΔxΔx→0Δygx0ΔxoΔxΔygx0ΔxoΔx,此时称yfxyfx在x0x_{0}x0处可微,若yfxyfx在区间XXX每一点上处处可微,则称yfxyfx在区间XXX上可微。其中gx0Δxgx0Δx称为微分的线性主要部分。

2024-02-29 18:52:06 385

原创函数极限＜5＞——闭区间上的连续函数

若函数fxfx在区间XXX上有定义,且∀ε0∀ε0∃δ0∃δ0∀x′∀x′x′′x′′∣x′−x′′∣δ∣x′−x′′∣δ∣fx′−fx′′∣ε∣fx′−fx′′∣ε,则称函数fxfx在区间XXX上一致连续。

2024-02-21 22:16:15 2520

原创函数极限＜4＞——无穷小量的阶

若lim⁡x→x0uxvx0limx→x0vxux0,则称当x→x0x\to x_{0}x→x0时,uxux是vxvx的高阶无穷小量,记为uxovxuxovx,相对的,当x→x0x\to x_{0}x→x0时,vxvx是uxux的低阶无穷小量。若在x0x_{0}x0的某一去心邻域内,∣uxvx∣≤AA∈Rvxux。

2024-01-21 19:45:28 1592

原创函数极限＜3＞——连续函数

若函数fx在邻域U˚x0δf\left ( x \right )在邻域\mathring{U} \left ( x_{0},\delta \right )fx在邻域U˚x0δ上有定义,且∀ε0∀ε0∃δ0∃δ0∀x∣x−x0∣δ∀x∣x−x0∣δ∣fx−fx0∣ε∣fx−fx0∣ε,也就是lim⁡x→x0fxfx0limx→x0。

2024-01-10 12:09:41 1827

原创函数极限＜2＞——Heine定理

可以直接运用的结论证明。的充要条件是对任意满足。又根据函数极限定义,

2023-12-28 05:18:07 1579

原创函数极限＜1＞——函数极限

若函数fxfx在去心邻域U˚x0δU˚x0δ内有定义,∀ε0∀ε0∃δ0∃δ0∀x0∣x−x0∣δ∀x0∣x−x0∣δ∣fx−A∣ε∣fx−A∣ε,则称函数fxfx以实数AAA为极限,或函数fxfx收敛于极限AAA,符号化表述为lim⁡x→x0fxAlimx→x0fxA或fx→Ax→x0fx→。

2023-12-28 05:05:40 1610

原创数列极限＜3＞——实数系基本定理

设集合SSS为非空有限实数集,若∃m∈S∀x∈S∃m∈S∀x∈Sx≥mx\ge mx≥m,则称mmm为SSS的最小数,记为mmax⁡Sm =\max SmmaxS。设集合SSS为非空有限实数集,若∃M∈S∀x∈S∃M∈S∀x∈Sx≤Mx\le Mx≤M,则称mmm为SSS的最大数,记为Mmin⁡SM =\min SMminS。设集合SSS为非空有限实数集,若。

2023-12-09 08:37:53 1146