高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅰ）

多元函数微分学：极限、连续性与偏导数

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于 2022-04-29 10:13:50 首次发布

高等数学笔记-乐经良老师

点到点的距离
- 在二维空间中，点 $P(x_0,y_0)$ 与 $P_0(x_0,y_0)$ 的距离记为 $d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2d\left(P, P_{0}\right)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ .
$δ\delta$ 邻域
- 集合 $P(x,y)∣d(P,P0)<δ}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P(x, y) \mid d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}$ 称为 $P_0$ 的 $δ\delta$ 邻域 .
- 不强调半径时邻域为 $U(P_{0})$ .
去心 $δ\delta$ 邻域
- 集合 $P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ}\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, P\right)=\left\{P(x, y) \mid 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}$ 称为 $P_0$ 的去心 $δ\delta$ 邻域 .

$E$ 是平面 $R^2$ 中的集合， $P_0$ 是平面中的点.
内点与边界点
- 内点
  
  若 $∃δ>0\exist \delta>0$ ，使 $U(P0,δ)⊂EU(P_{0},\delta) \subset E$ ，称 $P_0$ 为 $E$ 的内点.
- 边界点
  
  若对 $∀δ\forall \delta$ ，在 $U(P0,δ)U(P_{0},\delta)$ 内既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点，称 $P_0$ 为 $E$ 的边界点.
开集与闭集
- 开集
  
  若集合 $E$ 中每个点都是 $E$ 的内点，称 $E$ 为开集 .
- 闭集
  
  开集 $E$ 的余集 $R^2-E$ 称为闭集 .
连通与区域
- 连通
  
  若集合 $E$ 中任意两点都能用完全属于 $E$ 的折线连接起来，则称 $E$ 是连通的.
- 区域
  
  连通的开集称为区域.
边界与闭区域
- 边界
  
  $E$ 的所有边界点组成的集合称为 $E$ 的边界.
- 闭区域
  
  区域连同其边界称为闭区域 .
有界

若存在 $R$ ，集合 $\subset\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\right\}$ ，称 $E$ 有界.

多元函数的概念
- 多元函数
  
  简单说，函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.
- 二元函数
  
  设 $D$ 是平面的非空集， $f$ 是 $\rightarrow \mathbf{R}$ 的映射，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，记为 $\rightarrow \mathbf{R}$ 或者 $\quad(x, y) \in D$ .
- 二元函数两要素
  
  与一元情况类似，二元函数包括两个要素：定义域、对应关系。
多元函数图形（图象）
- 集合 $(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}$ 所对应几何图形称为二元函数的图形.
- 一般而言是 $R3\mathrm{R}^{3}$ 中的一个曲面.
- 曲面在 $x y$ 面上的投影区域就是函数的定义域 $D$ .
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