高等数学笔记-乐经良老师-第八章-多元函数微分学（Ⅰ）

野原星月

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于 2022-04-29 10:13:50 首次发布

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高等数学笔记-乐经良老师

第八章多元函数微分学（Ⅰ）

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集

01 邻域

点到点的距离
- 在二维空间中，点 $P(x_0,y_0)$ 与 $P_0(x_0,y_0)$ 的距离记为 $d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2d\left(P, P_{0}\right)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ .
$δ\delta$ 邻域
- 集合 $U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P(x, y) \mid d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}$ 称为 $P_0$ 的 $δ\delta$ 邻域 .
- 不强调半径时邻域为 $U(P_{0})$ .
去心 $δ\delta$ 邻域
- 集合 $U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ}\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, P\right)=\left\{P(x, y) \mid 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}$ 称为 $P_0$ 的去心 $δ\delta$ 邻域 .

02 开集与区域

$E$ 是平面 $R^2$ 中的集合， $P_0$ 是平面中的点.
内点与边界点
- 内点
  
  若 $∃δ>0\exist \delta>0$ ，使 $U(P0,δ)⊂EU(P_{0},\delta) \subset E$ ，称 $P_0$ 为 $E$ 的内点.
- 边界点
  
  若对 $∀δ\forall \delta$ ，在 $U(P0,δ)U(P_{0},\delta)$ 内既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点，称 $P_0$ 为 $E$ 的边界点.
开集与闭集
- 开集
  
  若集合 $E$ 中每个点都是 $E$ 的内点，称 $E$ 为开集 .
- 闭集
  
  开集 $E$ 的余集 $R^2-E$ 称为闭集 .
连通与区域
- 连通
  
  若集合 $E$ 中任意两点都能用完全属于 $E$ 的折线连接起来，则称 $E$ 是连通的.
- 区域
  
  连通的开集称为区域.
边界与闭区域
- 边界
  
  $E$ 的所有边界点组成的集合称为 $E$ 的边界.
- 闭区域
  
  区域连同其边界称为闭区域 .
有界

若存在 $R$ ，集合 $\subset\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\right\}$ ，称 $E$ 有界.

二、多元函数

多元函数的概念
- 多元函数
  
  简单说，函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.
- 二元函数
  
  设 $D$ 是平面的非空集， $f$ 是 $\rightarrow \mathbf{R}$ 的映射，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，记为 $\rightarrow \mathbf{R}$ 或者 $\quad(x, y) \in D$ .
- 二元函数两要素
  
  与一元情况类似，二元函数包括两个要素：定义域、对应关系。
多元函数图形（图象）
- 集合 ${(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}$ 所对应几何图形称为二元函数的图形.
- 一般而言是 $R3\mathrm{R}^{3}$ 中的一个曲面.
- 曲面在 $x y$ 面上的投影区域就是函数的定义域 $D$ .
  -

第二节多元函数的极限与连续

一、二元函数的极限

01 二元函数极限的概念

设二元函数定义在 $P_{0}$ 点的去心邻域，若存在数 $A$ ， $∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ,

使得当 $0<d(P,P0)<δ0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta$ 时， $y)-A|<\varepsilon$ ，

则称当 $\rightarrow P_{0}$ 或 $\rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时, $f (x, y)$ 的极限为 $A$ ，

在这里插入图片描述

02 二元函数极限与一元函数极限的比较

类似点
- $(x, y)$ 趋近点 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时函数 $f (x, y)$ 变化的定量趋势
- 计算多元函数极限时，等价代换、四则运算、夹逼准则等性质和定理仍成立
- 计算多元函数极限时，变量代换不能用，但极坐标变换可以用
区别点
- 平面上 $\rightarrow P_0$ 有无穷多方向，且采取的路径也是任意的，既可取直线，也可取曲线 ( 任意趋近 ) ；
- 无论从何种方向或沿何种路径，只要 $P$ 点与 $P_0$ 的距离充分小，都必须有 $∣f(P)−A∣\mid f(P)-A \mid$ 充分小。

二、二元函数的连续性

01 二元函数连续性的概念

连续与连续点

若二元函数 $f (x, y)$ 满足 $lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则称函数 $f (x, y)$ 在 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，也称 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f$ 的连续点.
间断

若不满足连续的条件（即不连续），则称为间断.
连续函数

若二元函数 $f (x, y)$ 在平面区域 $D$ 上每一点都连续，则称 $f$ 在区域 $D$ 上连续，或称 $f$ 是 $D$ 上的连续函数，记为 $\in C(D)$ .

02 二元函数连续性的运算

二元连续函数的和差积商仍为连续函数，其复合函数是连续函数。
注意取商时分母不为零。

03 二元初等函数

二元初等函数在其定义域内都是连续的。
间断点在无定义的孤立点或者线处。

04 连续的全增量表示

全增量： $Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
连续的全增量表示： $lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz=0\lim \limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \Delta z=0$

05 二元函数连续的表述

区域内连续：区域内每一点连续。
闭区域内连续：边界点连续。

03 闭区域上的二元连续函数的性质

与一元情况类似
- 有界性：闭区间的二元连续函数一定有界
- 最值性（最值可取）
- 介值性（介值定理）

第三节偏导数

一、偏导数的概念

01 偏导数

对二元函数 $f (x, y)$ 在点 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 给 $x$ 以增量 $Δx\Delta x$ ，

相应地函数有增量 (偏增量) $Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)\Delta_{x} z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，

函数 $f$ 在点 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数

$fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0ΔxzΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} z}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}$ ，

偏导数也可记为 $∂f∂x∣(x0,y0)\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ .

02 偏导函数

函数 $f$ 在区域 $D$ 上每一点都存在偏导数，则这些偏导数是 $D$ 上的二元函数，称为偏导函数，记为 $∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y)f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) \text { 或 } \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ .

二、偏导数的说明

对变量 $y$ 的偏导数类似。
多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率。

三、二元函数偏导数求法

把 $y$ 固定在 $y_{0}$ ，求一元函数 $f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在 $x_{0}$ 处的导数，就得到偏导数 $fx(x0,y0)f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，同样方法可以计算偏导数 $fy(x0,y0)f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ .

四、连续与可偏导的关系

01 可偏导未必连续

$y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 该函数在 $(0, 0)$ 的情况

02 连续未必可偏导

$f (x, y) = ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ 在 $(0, 0)$ 的情况

五、二元函数偏导数的几何意义

01 曲面与平面的交线

曲面 $z = f (x, y)$ 与平面 $y=y_{0}$ 的交线 ${z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0)\begin{cases}z=f(x, y) \\ y=y_{0} \end{cases} \Rightarrow z=f\left(x, y_{0}\right)$ (平面 $y=y_0$ 上的曲线)

02 切线关于坐标轴的斜率

$f_x(x_0,y_0)$ 是上述曲线在 $x_0,y_0)$ 点处的切线关于 $x$ 轴的斜率

在这里插入图片描述

六、高阶偏导数

01 高阶偏导数的概念

(1) 二阶偏导数

$f (x, y)$ 在 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的邻域内的偏导数 $fx(x,y),fy(x,y)f_{\mathrm{x}}(x, y),f_{y}(x, y)$ 的偏导数称为 $f$ 在 $(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 点处的二阶偏导数
$\begin{aligned} f_{x x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) & f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \\ f_{y x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) & f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{aligned}$

(2) 三阶偏导数

类似地，二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数，例如 $fxxy=∂3f∂x2∂y=∂∂y(∂2f∂x2)f_{x x y}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)$ .

02 混合偏导数

对于函数的高阶偏导数，对每一阶偏导数求导时，并不只针对同一个自变量，这样的偏导数称为混合偏导数。
混合偏导数并不总与求导次序无关。
混合偏导数与求导次序无关的充分条件（二元函数二阶混合偏导数相等定理）
- 若函数 $f (x, y)$ 的两个二阶混合偏导数在点 $(x, y)$ 连续，则 $f_{x y}(x, y)=f_{y x}(y, x)$ .

第四节全微分

一、全微分的概念

00 回顾一元函数

若 $Δf=A⋅Δx+o(Δx)\Delta f=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)$ ，微分 $\cdot \Delta x$ 是增量 $Δf\Delta f$ 在 $x_{0}$ 的线性主部。

01 全增量

对函数 $z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)$ ，称 $Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $z$ 的全增量。

02 可微

对函数 $z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)$ ，若全增量 $Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

可写为 $Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ)\Delta z=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho)$ （ $A$ ， $B$ 为常数， $ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ ），

则称 $f$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微。

03 全微分

而其中 $\cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$ 为函数 $f$ 在 $P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 点处的全微分，

记为 $dz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy\left.d z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$ （增量 $Δf\Delta f$ 的线性主部）

04 可微函数

若 $f (x, y)$ 在区域 $D$ 每点处都可微，则称 $f$ 是 $D$ 内的可微函数。

二、可微与连续及可偏导的关系

01 可微必连续

02 可微必可偏导

函数 $f$ 有 $df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y \Rightarrow f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B$

由 $x=\Delta x, d y=\Delta y$ 得到 $d z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y$

03 有连续偏导数则可微

偏导数连续 $⇒\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\text { 连续 } \\ \ \stackrel{×}{\uparrow} \stackrel{\downarrow}{×} \\ \text { 可偏导 }\end{array}\right.$

三、全微分的几何意义

微分 $\cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$ 是 $Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的线性主部，这意味着可用 $A(x−x0)+B(y−y0)A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)$ 近似 $Δz=f(x,y)−f(x0,y0)\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ .

从几何上看，微分就是在就是在点 $M0(x0,y0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的附近存在近似曲面的平面， $z−z0=A(x−x0)+B(y−y0)z-z_{0}=A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)$ 实际上是曲面的切平面。

在这里插入图片描述

四、全微分的应用

近似 $Δz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy\Delta z \approx d z=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y$

全微分可以用于近似计算

最后

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