高等数学笔记-乐经良老师
第八章 多元函数微分学(Ⅰ)
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集
01 邻域
- 点到点的距离
- 在二维空间中,点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0) 与P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 的距离记为 d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2d\left(P, P_{0}\right)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2 .
- δ\deltaδ 邻域
- 集合 U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P(x, y) \mid d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ} 称为 P0P_0P0 的 δ\deltaδ 邻域 .
- 不强调半径时邻域为 U(P0)U(P_{0})U(P0) .
- 去心 δ\deltaδ 邻域
- 集合 U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ}\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, P\right)=\left\{P(x, y) \mid 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ} 称为 P0P_0P0 的去心 δ\deltaδ 邻域 .
02 开集与区域
-
EEE 是平面 R2R^2R2 中的集合,P0P_0P0 是平面中的点.
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内点与边界点
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内点
若 ∃δ>0\exist \delta>0∃δ>0,使 U(P0,δ)⊂EU(P_{0},\delta) \subset EU(P0,δ)⊂E,称 P0P_0P0 为 EEE 的内点.
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边界点
若对 ∀δ\forall \delta∀δ,在 U(P0,δ)U(P_{0},\delta)U(P0,δ) 内既有属于 EEE 的点,又有不属于 EEE 的点,称 P0P_0P0 为 EEE 的边界点.
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开集与闭集
-
开集
若集合 EEE 中每个点都是 EEE 的内点,称 EEE 为开集 .
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闭集
开集 EEE 的余集 R2−ER^2-ER2−E 称为闭集 .
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连通与区域
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连通
若集合 EEE 中任意两点都能用完全属于 EEE 的折线连接起来,则称 EEE 是连通的.
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区域
连通的开集称为区域.
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边界与闭区域
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边界
EEE 的所有边界点组成的集合称为 EEE 的边界.
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闭区域
区域连同其边界称为闭区域 .
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有界
若存在 RRR,集合 E⊂{(x,y)∣x2+y2<R2}E \subset\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\right\}E⊂{(x,y)∣x2+y2<R2},称 EEE 有界.
二、多元函数
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多元函数的概念
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多元函数
简单说,函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.
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二元函数
设 DDD 是平面的非空集,fff 是 D→RD \rightarrow \mathbf{R}D→R 的映射,则称 fff 是定义在 DDD 上的二元函数,记为 f:D→Rf: D \rightarrow \mathbf{R}f:D→R 或者 z=f(x,y),(x,y)∈Dz=f(x, y), \quad(x, y) \in Dz=f(x,y),(x,y)∈D .
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二元函数两要素
与一元情况类似,二元函数包括两个要素:定义域、对应关系。
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多元函数图形(图象)
- 集合 {(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}{(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D} 所对应几何图形称为二元函数的图形.
- 一般而言是 R3\mathrm{R}^{3}R3 中 的一个曲面.
- 曲面在 xyx yxy 面上的投影区域就是函数的定义域 DDD .
-
第二节 多元函数的极限与连续
一、二元函数的极限
01 二元函数极限的概念
设二元函数定义在 P0P_{0}P0 点的去心邻域,若存在数 AAA,∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0∀ε>0,∃δ>0,
使得当 0<d(P,P0)<δ0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta0<d(P,P0)<δ 时,∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε,
则称当 P→P0P \rightarrow P_{0}P→P0 或 (x,y)→(x0,y0)(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)(x,y)→(x0,y0) 时, f(x,y)f(x, y)f(x,y) 的极限为 AAA,
02 二元函数极限与一元函数极限的比较
- 类似点
- (x,y)(x, y)(x,y) 趋近点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 时函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 变化的定量趋势
- 计算多元函数极限时,等价代换、四则运算、夹逼准则等性质和定理仍成立
- 计算多元函数极限时,变量代换不能用,但极坐标变换可以用
- 区别点
- 平面上 P→P0P \rightarrow P_0P→P0 有无穷多方向,且采取的路径也是任意的,既可取直线,也可取曲线 ( 任意趋近 ) ;
- 无论从何种方向或沿何种路径,只要 PPP 点与 P0P_0P0 的距离充分小,都必须有 ∣f(P)−A∣\mid f(P)-A \mid∣f(P)−A∣ 充分小。
二、二元函数的连续性
01 二元函数连续性的概念
-
连续与连续点
若二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 满足 lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0),则称函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 处连续,也称 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 是 fff 的连续点.
-
间断
若不满足连续的条件(即不连续),则称为间断.
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连续函数
若二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在平面区域 DDD 上每一点都连续,则称 fff 在区域 DDD 上连续,或称 fff 是 DDD 上的连续函数,记为 f∈C(D)f \in C(D)f∈C(D).
02 二元函数连续性的运算
- 二元连续函数的和差积商仍为连续函数,其复合函数是连续函数。
- 注意取商时分母不为零。
03 二元初等函数
- 二元初等函数在其定义域内都是连续的。
- 间断点在无定义的孤立点或者线处。
04 连续的全增量表示
- 全增量:Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
- 连续的全增量表示:lim(Δx,Δy)→(0,0)Δz=0\lim \limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \Delta z=0(Δx,Δy)→(0,0)limΔz=0
05 二元函数连续的表述
- 区域内连续:区域内每一点连续。
- 闭区域内连续:边界点连续。
03 闭区域上的二元连续函数的性质
- 与一元情况类似
- 有界性:闭区间的二元连续函数一定有界
- 最值性(最值可取)
- 介值性(介值定理)
第三节 偏导数
一、偏导数的概念
01 偏导数
对二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 给 xxx 以增量 Δx\Delta xΔx,
相应地函数有增量 (偏增量) Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)\Delta_{x} z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0),
函数 fff 在点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 处对 xxx 的偏导数
fx(x0,y0)=limΔx→0ΔxzΔx=limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} z}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}fx(x0,y0)=Δx→0limΔxΔxz=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0),
偏导数也可记为 ∂f∂x∣(x0,y0)\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}∂x∂f(x0,y0) .
02 偏导函数
函数 fff 在区域 DDD 上每一点都存在偏导数,则这些偏导数是 DDD 上的二元函数,称为偏导函数,记为 fx(x,y),fy(x,y) 或 ∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y)f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) \text { 或 } \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)fx(x,y),fy(x,y) 或 ∂x∂f(x,y),∂y∂f(x,y) .
二、偏导数的说明
- 对变量 yyy 的偏导数类似。
- 多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率。
三、二元函数偏导数求法
把 yyy 固定在 y0y_{0}y0,求一元函数 f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)f(x0,y0) 在 x0x_{0}x0 处的导数,就得到偏导数 fx(x0,y0)f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)fx(x0,y0),同样方法可以计算偏导数 fy(x0,y0)f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)fy(x0,y0).
四、连续与可偏导的关系
01 可偏导未必连续
f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.f(x,y)={x2+y2xy0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 该函数在 (0,0)(0,0)(0,0) 的情况
02 连续未必可偏导
f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x, y)=|x|+|y|f(x,y)=∣x∣+∣y∣ 在 (0,0)(0,0)(0,0) 的情况
五、二元函数偏导数的几何意义
01 曲面与平面的交线
曲面 z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 与平面 y=y0y=y_{0}y=y0 的交线 {z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0)\begin{cases}z=f(x, y) \\ y=y_{0} \end{cases} \Rightarrow z=f\left(x, y_{0}\right){z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0) (平面 y=y0y=y_0y=y0上的曲线)
02 切线关于坐标轴的斜率
fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)fx(x0,y0) 是上述曲线在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 点处的切线关于 xxx 轴的斜率
六、高阶偏导数
01 高阶偏导数的概念
(1) 二阶偏导数
f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 的邻域内的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)f_{\mathrm{x}}(x, y),f_{y}(x, y)fx(x,y),fy(x,y) 的偏导数称为 fff 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 点处的二阶偏导数
fxx=∂2f∂x2=∂∂x(∂f∂x)fxy=∂2f∂x∂y=∂∂y(∂f∂x)fyx=∂2f∂y∂x=∂∂x(∂f∂y)fyy=∂2f∂y2=∂∂y(∂f∂y)
\begin{aligned}
f_{x x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) & f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \\
f_{y x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) & f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)
\end{aligned}
fxxfyx=∂x2∂2f=∂x∂(∂x∂f)=∂y∂x∂2f=∂x∂(∂y∂f)fxy=∂x∂y∂2f=∂y∂(∂x∂f)fyy=∂y2∂2f=∂y∂(∂y∂f)
(2) 三阶偏导数
类似地,二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数,例如 fxxy=∂3f∂x2∂y=∂∂y(∂2f∂x2)f_{x x y}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)fxxy=∂x2∂y∂3f=∂y∂(∂x2∂2f) .
02 混合偏导数
- 对于函数的高阶偏导数,对每一阶偏导数求导时,并不只针对同一个自变量,这样的偏导数称为混合偏导数。
- 混合偏导数并不总与求导次序无关。
- 混合偏导数与求导次序无关的充分条件(二元函数二阶混合偏导数相等定理)
- 若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 的两个二阶混合偏导数在点 (x,y)(x, y)(x,y) 连续,则 fxy(x,y)=fyx(y,x)f_{x y}(x, y)=f_{y x}(y, x)fxy(x,y)=fyx(y,x) .
第四节 全微分
一、全微分的概念
00 回顾一元函数
若 Δf=A⋅Δx+o(Δx)\Delta f=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)Δf=A⋅Δx+o(Δx),微分 df=A⋅Δxd f=A \cdot \Delta xdf=A⋅Δx 是增量 Δf\Delta fΔf 在 x0x_{0}x0 的线性主部。
01 全增量
对函数 z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)z=f(x,y),称 Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 为函数 zzz 的全增量。
02 可微
对函数 z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)z=f(x,y),若全增量 Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
可写为 Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ)\Delta z=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho)Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ) (AAA,BBB 为常数,ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}ρ=(Δx)2+(Δy)2),
则称 fff 在 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 可微。
03 全微分
而其中 A⋅Δx+B⋅ΔyA \cdot \Delta x+B \cdot \Delta yA⋅Δx+B⋅Δy 为函数 fff 在 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 点处的全微分,
记为 dz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy\left.d z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta ydz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy (增量 Δf\Delta fΔf 的线性主部)
04 可微函数
若 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在区域 DDD 每点处都可微,则称 fff 是 DDD 内的可微函数。
二、可微与连续及可偏导的关系
01 可微必连续
02 可微必可偏导
函数 fff 有 df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y \Rightarrow f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=Bdf∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B
由 dx=Δx,dy=Δyd x=\Delta x, d y=\Delta ydx=Δx,dy=Δy 得到 dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dyd z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d ydz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy
03 有连续偏导数则可微
偏导数连续 ⇒\Rightarrow⇒ 可微 ⇒{ 连续 ↑××↓ 可偏导 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\text { 连续 } \\ \ \stackrel{×}{\uparrow} \stackrel{\downarrow}{×} \\ \text { 可偏导 }\end{array}\right.⇒⎩⎨⎧ 连续 ↑××↓ 可偏导
三、全微分的几何意义
微分 A⋅Δx+B⋅ΔyA \cdot \Delta x+B \cdot \Delta yA⋅Δx+B⋅Δy 是 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 的线性主部,这意味着可用 A(x−x0)+B(y−y0)A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)A(x−x0)+B(y−y0) 近似 Δz=f(x,y)−f(x0,y0)\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=f(x,y)−f(x0,y0) .
从几何上看,微分就是在就是在点 M0(x0,y0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)M0(x0,y0) 的附近存在近似曲面的平面,z−z0=A(x−x0)+B(y−y0)z-z_{0}=A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)z−z0=A(x−x0)+B(y−y0) 实际上是曲面的切平面。
四、全微分的应用
近似 Δz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy\Delta z \approx d z=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta yΔz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy
全微分可以用于近似计算
最后
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