高等数学笔记-乐经良
第四章 微分中值定理和导数的应用
第二节 洛必达法则
一、定理(00\frac0000型)
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定理内容
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(1) limx→af(x)=limx→ag(x)=0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=0x→alimf(x)=x→alimg(x)=0
(2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 aaa 点邻域可导,且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g′(x)=0
(3) limx→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Ax→alimg′(x)f′(x)=A(A 可以为 ∞)\infty)∞)
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⇒limx→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A⇒x→alimg(x)f(x)=A
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即 limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x) (在右端有意义的情况下成立)
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说明
- x→a+x \rightarrow a^+x→a+(或 a−a^-a−,∞\infty∞等)法则仍适用
- 应用法则时勿忘记等价无穷小替换
- limx→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→alimg′(x)f′(x) 不存在不意味着 limx→af(x)g(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}x→alimg(x)f(x) 不存在(可能不满足定理条件①②)
- 洛必达法则是充分而非必要的
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推论
- 在定理的条件中 x→ax \rightarrow ax→a 改为 x→∞x \rightarrow \inftyx→∞,有 limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→∞limg(x)f(x)=x→∞limg′(x)f′(x)
二、定理(∀∞/∞∞\frac{\forall}{\infty}/\frac{\infty}{\infty}∞∀/∞∞型)
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定理内容
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(1) limx→ag(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=\inftyx→alimg(x)=∞
(2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 aaa 的邻域可导,且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g′(x)=0
(3) limx→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Ax→alimg′(x)f′(x)=A(A 可以为 ∞)\infty)∞)
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⇒limx→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A⇒x→alimg(x)f(x)=A
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说明
- x→a+x \rightarrow a^+x→a+(或 a−a^-a−,∞\infty∞等)法则仍适用
- 其它型极限(0⋅∞,∞±∞,00,1∞,∞00 \cdot \infty, \infty \pm \infty, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0}0⋅∞,∞±∞,00,1∞,∞0 等型)化为 00\frac{0}{0}00 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ 处理
- 对数列极限用海涅定理
- 先用等价变化、变量代换、四则运算、恒等变形等化简,再用法则
- 已知极限求参数时慎用,因为法则充分而非必要,所以会缩小参数范围
最后
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