高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第二节-洛必达法则

本文详细介绍了高等数学中洛必达法则,包括适用于0/0或∞/∞型未定义极限的情况。该法则提供了一种求解这类极限的方法,通过比较分子和分母的导数极限来确定原极限的值。同时,文章强调了洛必达法则是充分而非必要的,并给出了适用条件和注意事项。此外,还提到了其他类型的极限转换,如0*∞,∞±∞,0^0,1^∞,∞^0等,并指出在处理这些类型时需要转换为0/0或∞/∞形式。最后,提醒在利用洛必达法则求解参数问题时要谨慎,因为它可能会限制参数的范围。

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高等数学笔记-乐经良

第四章 微分中值定理和导数的应用

第二节 洛必达法则

一、定理(00\frac0000​型)

  • 定理内容

    • (1) lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=0xalimf(x)=xalimg(x)=0 ​​​

      (2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x)​​​ 在 aaa​​​ 点邻域可导,且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g(x)=0 ​​​

      (3) lim⁡x→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Axalimg(x)f(x)=A(A​​​ 可以为 ∞)\infty)) ​​​

    • ⇒lim⁡x→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=Axalimg(x)f(x)=A

    • lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}xalimg(x)f(x)=xalimg(x)f(x)​ (在右端有意义的情况下成立)

  • 说明

    • x→a+x \rightarrow a^+xa+​(或 a−a^-a​,∞\infty​​等)法则仍适用
    • 应用法则时勿忘记等价无穷小替换
    • lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}xalimg(x)f(x) 不存在不意味着 lim⁡x→af(x)g(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}xalimg(x)f(x) 不存在(可能不满足定理条件①②)
    • 洛必达法则是充分而非必要的
  • 推论

    • 在定理的条件中 x→ax \rightarrow axa 改为 x→∞x \rightarrow \inftyx,有 lim⁡x→∞f(x)g(x)=lim⁡x→∞f′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}xlimg(x)f(x)=xlimg(x)f(x)

二、定理(∀∞/∞∞\frac{\forall}{\infty}/\frac{\infty}{\infty}/型)

  • 定理内容

    • (1) lim⁡x→ag(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=\inftyxalimg(x)=

      (2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x)​ 在 aaa​ 的邻域可导,且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g(x)=0

      (3) lim⁡x→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Axalimg(x)f(x)=A(A​ 可以为 ∞)\infty))

    • ⇒lim⁡x→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=Axalimg(x)f(x)=A

  • 说明

    • x→a+x \rightarrow a^+xa+(或 a−a^-a∞\infty​等)法则仍适用
    • 其它型极限(0⋅∞,∞±∞,00,1∞,∞00 \cdot \infty, \infty \pm \infty, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0}0,±,00,1,0​ 等型)化为 00\frac{0}{0}00​ 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}​​ 处理
    • 对数列极限用海涅定理
    • 先用等价变化、变量代换、四则运算、恒等变形等化简,再用法则
    • 已知极限求参数时慎用,因为法则充分而非必要,所以会缩小参数范围

最后

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