控制理论 --- 知识点大杂烩

知识点

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• 控制系统的两大问题：分析、综合
  分析：分析工具？性能指标？影响因素？
  综合：校正、控制器设计、控制律设计。如何满足闭环系统性能指标？

• 校正方式分类：

  • 串联校正
  • 并联校正
  • 复合控制校正（既有串联又有并联）

• 控制结构分类

  • （1）反馈控制
    按被控量的偏差进行控制，其原理是：将被控量的偏差信号反馈到控制器，有控制器去修正控制量，以减少偏差量。因此，反馈控制能产生作用的前提条件是被控量偏离设定值。
  • （2）前馈控制
    按扰动量进行控制，原理是：当系统出现扰动时，立即将扰动量测量出来，通过前馈控制器，根据扰动量的大小来改变控制量，以抵消或减小扰动对被控量的影响。例如ADRC中的扰动观测和控制补偿。

• 热门的控制算法
  （1）PID
  （2）H无穷
  （3）极点配置
  （4）超前之后校正
  （5）最优控制
  （6）MPC
  （7）ADRC

• 系统的自由度
  以无人机为例：自由度 Dof 指三维空间中独立运动的能力。

  1. 平移自由度（3个）
     描述无人机在空间中的 位置变化：
  • X轴方向：前进/后退（Surge）
  • Y轴方向：左移/右移（Sway）
  • Z轴方向：上升/下降（Heave）
  2. 旋转自由度（3个）
     描述无人机绕自身坐标轴的 姿态变化：
  • 俯仰（Pitch）：绕Y轴旋转（机头上下摆动）
  • 横滚（Roll）：绕X轴旋转（机身左右倾斜）
  • 偏航（Yaw）：绕Z轴旋转（机头左右转向）

• 欠驱动系统：系统的独立控制输入数量少于系统的自由度（或状态变量数量）。

• 广义对象：所谓广义对象，是指在控制回路中，除去控制器之外，把剩余部分看做一个整体对象，与传统的控制对象对比，称作广义对象。

• 积分串联型系统
  不管线性还是非线性系统，在一定条件下都可以通过反馈转换为线性积分器串联形式，称为反馈系统的基本结构。它的意义是不管原始系统物理性质是什么，是线性还是非线性，最后都可以通过反馈还原到最简单、最基本、最原始和最理想的形式，即积分器串联型。

• 模型不确定系、模型扰动
  内扰动：参数摄动、未建模动态。
  外扰动：外部环境强加的扰动，如无人机系统中的风扰。

• 模型灾难
  指由于模型不准确或失配引发的控制系统性能严重下降、不稳定或灾难性后果。
  积分器的作用是在稳态估计总扰动，但是积分器相位滞后，在瞬态影响控制效果，甚至造成系统的不稳定。

• 控制系统的快速性
  一个控制系统要使输出迅速跟踪给定值有两个途径：高控制带宽和前馈。但是工业上带宽就是成本，高带宽虽然能使跟踪速度提高，但是也存在一些问题：

  • 对执行机构的品质要求提高；
  • 激励了对象的高频动态使控制问题复杂化；
  • 闭环系统的稳定裕度下降；
  • 对传感器噪声更敏感。

• 前馈的本质
  用离线信息弥补在线信息的不足。

• 系统阶数
  阶数=微分方程最高次导。
  例如二阶系统：$\ddot{y}=f(\dot{y},y,w)+b_{0}u$

• 性能？性能指标？
  什么是性能？衡量性能的指标有哪些？
  动态性能指标？静态性能指标？
  快、准、稳！

• 定性、定量
  定性分析：判断是或否。
  定量分析：判断是或否的程度。

• 最小相位系统
  零极点都在左半平面。

• 相对稳定性
  稳定的程度。
  例如，使用稳定裕度来表示相对稳定性。

• 稳定裕度
  用来衡量稳定的程度。
  相对稳定性。

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专业术语

控制输入、状态量、输出量、控制器、系统传递函数。
数学模型、微分方程、差分方程、状态空间方程。
输入信号、控制输入。
输出信号、系统响应。
单输入单输出、单变量系统、SISO系统。
多输入多输出、多变量系统、MIMO系统。
伪线性系统、伪控制量、系统的逆。
动态特性
过度过程

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时域分析

动态特性、静态特性。

时域性能指标

对象：一阶系统、二阶系统、高阶线性系统的阶跃响应。
动态性能指标（瞬态性能）：

• 上升时间 $t_r$
• 调节时间 $t_s$
• 峰值时间 $t_p$
• 延迟时间 $t_d$
• 超调量 $\sigma$%

静态性能指标（稳态性能）：

• 静态误差 $e_{ss}$

闭环系统的时域指标基本要求：快、准、稳。

一阶系统时域分析

1. 传递函数的一般形式
   $$\varphi (s)=\frac{1}{Ts+1}$$
   $T$ 被称为时间常数。

2. 阶跃响应
   

3. 脉冲响应
   

4. 指标计算
   结合上图可计算调节时间、上升时间。

5. 重要结论
   积分关系：阶跃响应 = 脉冲响应 的 积分。
   微分关系：脉冲响应 = 阶跃响应 的 微分。

二阶系统时域分析

1. 传递函数的一般形式
   
   $\zeta$：阻尼比
   $w_n$：无阻尼震荡频率
   $Ts=\frac{1}{w_n}$：震荡周期
   特征根：
   
2. 阻尼比 $\zeta \to$ 闭环极点(特征根) $\to$ 动态特性
   过阻尼（$\zeta >1$）：不等负实根，无超调。
   临街阻尼（$\zeta =1$）：相等负实根，有超调。
   欠阻尼（$0<\zeta <1$）：负实部共轭复根，衰减震荡。
   无阻尼（$\zeta =0$）：纯虚根，等幅振荡。
   负阻尼（$-1<\zeta <0$）：不等正实根，震荡发散。
   负阻尼（$\zeta <-1$）：正实部共轭复根，单调发散。

3. 指标计算
   
   
   
4. 重要结论
   $\zeta ，w_n$决定极点位置，极点决定动态特性。

高阶系统时域分析

1. 高阶系统 = 多个一阶系统 * 多个二阶系统
   高阶系统的响应可看成多个一阶系统和二阶系统响应的叠加。
   
2. 负实部 极点、零点、偶极子 对性能的影响

• 极点：
  远离虚轴的极点对应的时域暂态分量衰减很快，在系统稳定前早已消逝。
  靠近虚轴的极点对应的时域暂态分量衰减慢，是决定动态性能的主要因素。
  • 非主导极点：可忽略。
    到虚轴的距离比虚轴附近的极点大至少5倍。暂态分量可以忽略，极点可以忽略，常用于高阶系统的降阶。
  • 主导极点：决定动态性能。
    虚轴附近的极点 & 到虚轴距离比非主导极点小至少5倍 & 附近没有零点。
    
• 零点：
  开环零点 = 闭环零点。
  零点决定暂态分量的系数大小，距离虚轴越远，系数越小。
  影响它附近的极点对应的暂态分量的系数大小。
  • 非主导零点：可忽略。
    到虚轴的距离远大于主导极点。
    
  • 主导零点：决定暂态分量的系数大小。
    靠近原点或虚轴。
• 偶极子：远离虚轴的偶极子可忽略，否则不可忽略。
  相距很近的一对零极点。
  

总结

• 性能
  • 动态性能
    动态指标：$t_s,t_p,t_d,t_r,\sigma \%$。
  • 静态性能
    静态指标：$e_{ss}$
  • 稳定性
    稳定性充要条件、判据。
• 性能的决定性因素：闭环零极点的位置！

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稳定性分析

对象：闭环传递函数。
什么叫稳定性：稳定与否？稳定的程度如何？

稳定的定义

大范围稳定：当有界扰动消失后，系统能恢复到初始状态。
渐进稳定：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零。
外稳定（输入输出稳定）：有界输入有界输出。

稳定的充要条件

线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环极点全部落在虚轴左边。

稳定性判据

1. 求特征根
   适用于低阶线性系统。
2. 劳斯(Routh)判据
   适用于高阶线性系统。
3. 赫尔维茨(Hurwitz)判据
   适用于高阶线性系统。

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稳态误差分析

限制条件：反馈控制系统。

对象：闭环系统。
稳态性能指标：稳态误差（静态误差）。
方法：通过开环系统的型号来判断闭环系统的稳态误差。

1. 指标计算
   

2. 反馈控制系统的稳态误差与输入信号的类型和开环传递函数的积分环节个数有关！
   注意：$G(s)$可以看作是包含控制器的传递函数（例如pid）。

3. 误差信号的S变换：
   

4. 开环系统的类型：积分环节个数（$v=0,1,2$：0型，1型，2型）
   

5. 重要结论
   注意：此结论只针对反馈控制系统有效。

• 012型系统的稳态误差
  
  
• 很显然,至少选择Ⅱ型系统,否则稳态误差将无穷大。由此可见,虽然采用高型系统对提高系统的控制准确度有利，但必须以保证系统的稳定性为前提，同时还要考虑系统的动态要求。
• 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态误差之和。

6. 误差的分类

• 参考误差（给定误差）：参考信号与输出信号间的误差。
  

• 扰动误差：扰动信号引起的参考信号与输出信号间的误差误差。
  

7. 减小静差的方法

• 增大开环总增益（PI控制器）。
  开环增益过大会破坏稳定性，一般增大开环增益的同时要同时附加校正装置（如积分环节），总效果是一个PI控制器。
  
• 增加前向通路的积分环节个数（提高开环系统型号）
  过多的积分环节也会破坏系统稳定系，一般会附加其他校正装置以保持稳定性（如PID控制）。
  
• 复合控制，加入前馈补偿。
  例如ADRC的扰动前馈补偿。
  

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根轨迹法

系统的性能与闭环特征根（闭环极点）密切相关。
开环传递函数的某个参数（例如开环增益）变化 $\to$ 闭环极点的运动轨迹。

作用

• 观察系统参数与闭环极点的关系。
• 判断稳定性。
• 观察稳定的程度，给出稳定性的度量。
• 如何调节参数以提高系统性能。

绘制法则

略…

时域分析和频域分析的关系

• 时域分析
  使用闭环极点(特征根)的位置来分析闭环系统的性能（稳定性、动态指标、静态指标）。
• 频域分析
  使用开环系统频率特性来分析闭环系统的性能（稳定性、稳定程度、动态指标、静态指标）。
• 时域指标和频域指标的关系
  请参考“系统的频域分析”小节。

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系统的频域分析

一些概念

• 频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。
• Why？
  为什么分析闭环性能，不使闭环系统的频率特性去分析，反而使用开环系统的频率特性？
  原因：开环系统的频率特性曲线可以使用实验法得到，而闭环系统频率特性则比较难通过实验法得到，加上机理建模可能并不准确，所以无法得到准确的闭环系统频率特性曲线。
• 稳定的程度：离不稳定还有多远？
• 稳定裕度：可判断稳定与否、稳定的程度。
  • 相角裕度。
  • 幅值裕度。

作用

1. 使用开环系统的频率特性(曲线)去分析闭环性能（稳定性？动态性能？静态性能？）。
2. 根据频率特性曲线，揭示改进系统性能的途径。

最小相位系统的频率特性

开环或闭环传递函数：$G(s)$
前提：$G(s)$ 是最小相位系统。
若输入信号：

则输出信号的稳态响应：

结论：
最小相位系统$G(s)$，把输入信号$A_{r}sin(wt)$的，幅值放大了$|G(jw)|$倍，相位偏置了$\phase{G}(jw)$度。

• $A(w)=|G(jw)|$ 是幅值的放大倍数。
• $\varphi (w)=\phase{G}(jw)$ 是相位的偏置量。
  • $\phase{G}(jw)<0$：滞后。
  • $\phase{G}(jw)>0$：超前。

开环系统频域指标

计算对象：开环系统（在反馈点断开）。

• 截止频率$w_c$
  $A(w_c)=|G(j{w}_c)|=1$。
  也就是 $L(w_c)=20lgA(w_c)=0$。
• 穿越频率$w_x$
  $\varphi (w_x)=\phase{G}(j{w}_x)=-180°$
• 稳定裕度：$\gamma ，L_h$
  
  

频率特性曲线的种类

频率特性曲线：系统频率特性的图形化。
种类：

1. 幅相频率特性曲线（ 极坐标图、奈奎斯特(Nyquist)图 ）：把$|G(jw)|、\phase{G}(jw)$图形化。
   
2. 对数频率特性曲线（bode图）
   • 对数幅频特性曲线；
     横坐标频率$w$，纵坐标$L(w)=20lg|G(wj)|$。
   • 对数相频特性曲线；
     横坐标频率$w$，纵坐标$\varphi (w)=\phase{G}(jw)$。
     
     
     
     
3. 尼科尔斯曲线：略。

典型环节的频率特性

略…

稳定性判据

本质：通过开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性、稳定程度（相对稳定性）。
限制条件：反馈控制系统。

方法：

• 奈奎斯特稳定性判据。
  定性（是否稳定）：通过开环系统的奈奎斯特曲线包围$(-1,0j)$ 的圈数来判断闭环系统稳定性。
  定量（稳定程度）：曲线距离$(-1,0j)$越远，稳定性越高。
• 对数频率稳定系判据。
  定性（是否稳定）：相位裕度$\gamma >0°$ 或 幅值裕度$L_h>0$。
  定量（稳定程度）：计算 稳定裕度 来衡量稳定程度。

稳定裕度

• 作用：衡量稳定的程度。

• 计算对象：开环系统 bode 曲线。

• 谁稳定：闭环系统。

• 稳定裕度：相位裕度$\gamma$、幅值裕度$L_h$。
  

• 如何判断稳定程度？
  以上图(b)为例分析：
  （1）此时相位裕度$\gamma >0°$、幅值裕度$L_h>0$，闭环系统稳定。
  （2）如果将$L(w)$曲线向上平移$L_h$分贝的距离，$\varphi (w)$曲线不动，此时新的幅值裕度$\widehat{L_h}=0$，意味着闭环系统临界稳定，如果平移距离超过$L_h$分贝，那么闭环系统将会不稳定。
  $L(w)$曲线向上平移的含义：校正器或控制器对开环系统造成的幅频特性变化再增大$L_h$倍，系统将会处于临界不稳定。也就是说若要系统保持稳定，$L_h$是可允许矫正器或控制器对开环系统造成幅频特性增大的倍数上限！
  （3）同理，如果将$\varphi (w)$曲线向下平移$\gamma °$的距离，$L(w)$曲线不动，此时新的相角裕度$\hat{\gamma }=0$，意味着闭环系统临界稳定，如果平移距离超过$\gamma °$，那么闭环系统将会不稳定。
  $\varphi (w)$曲线向下平移的含义：校正器或控制器对开环系统造成的相位滞后再增多$\gamma °$，系统将会处于临界不稳定。也就是说若要系统保持稳定，$\gamma$是可允许矫正器或控制器对开环系统造成相位滞后的上限！

• 总结

  1. 闭环系统稳定：相位裕度$\gamma >0°$、幅值裕度$L_h>0$
  2. 稳定裕度的意义：
     • $\gamma 、L_h$越大稳定程度越高。
     • 若要系统保持稳定，幅值裕度$L_h$是可允许矫正器或控制器对开环系统造成幅频特性增大的倍数上限！
     • 若要系统保持稳定，相位裕度$\gamma$是可允许矫正器或控制器对开环系统造成相位滞后的上限！
  3. 既满足稳定性，又具有良好动态性能的稳定裕度要求：
     • $\gamma =30°$~ $70°$
     • $L_h>6$ dB
     • $L(w)$曲线$w_c$附近的斜率应该$>-40dB$且有一定的宽度。

• 其他
  开环频域指标与闭环时域指标的联系：
  低频段：与闭环的稳态误差有关。
  中频段wc附近：与闭环系统的稳定性、稳定裕度有关。
  高频段：与闭环系统的抗干扰能力有关。
  

闭环频率特性

1. 分析方法与开环系统相同：
   幅频特性：$L(w)=20lg|A(w)|=20lg|\Phi (jw)|$
   相频特性：$\varphi (w)=\phase{\Phi }(jw)$

2. 闭环频域指标：

• $M(0)$：$L(w=0)$。
• 带宽频率$w_b$：$L(w_b)=0.707M(0)=0.707L(0)$
• 谐振峰值$M_p$：$M_P=L(w_p)$
• 谐振频率$w_p$：$M_P=L(w_p)$
• 带宽（控制带宽）：0 ~ $w_b$
  

3. 闭环频域指标、开环频域指标、时域动态指标 间的关系

• 控制带宽$w_b$
  体现闭环系统跟踪输入信号的能力。
  带宽越高，跟踪速度越快（上升时间越小、超调量越大），但稳定程度越低（开环稳定裕度越小），并且对高频噪声的过滤能力越差。因此在设计带宽时应这种考虑。

• 谐振峰值$M_p$
  反应系统的稳定程度。
  $M_p$越大，超调量越大，稳定程度越低。
  $M_p$建议值：$1.2M(0)$~$1.5M(0)$

• 谐振频率$w_p$
  $w_p$越大瞬态响应越快。

• 指标间的相互转化公式
  略…

• 总结
  $M_p$与$\sigma$%呈正相关。
  $w_b$与$t_s$呈负相关。
  $M_p$与$\gamma$呈负相关。
  $w_b$与$w_c$呈正相关。

• 带宽与系统性能的关系

性能指标	带宽的影响
响应速度	带宽越高，系统对高频输入的跟踪能力越强，响应越快（如阶跃响应的上升时间更短）。
抗干扰能力	带宽内干扰会被抑制，但带宽外的高频噪声可能被放大（需权衡）。
稳定性	带宽过高可能导致系统接近谐振频率或相位裕度不足，引发振荡或不稳定。
鲁棒性	带宽过高可能降低系统对模型不确定性的容忍度。

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系统矫正

控制器设计，系统镇定。
折中各性能指标，设计合适的矫正装置。

校正器的分类

1. 按结构分类：

• 串联矫正
  校正器与别空对象串联。
  例如，PID控制器。
• 并联矫正
  校正器与被控对象并联。
  例如，LQR状态反馈控制器。
• 复合校正器
  既有串联、又有并联。
  例如，PID + 前馈补偿。

2. 按特性分类

• 超前矫正
  校正器可以使得闭环系统的相位超前。
  例如，PD 控制器，D 环节具备相位超前能力。
• 滞后矫正
  校正器可以使得闭环系统的相位滞后。
  例如，PI 控制器，I 环节具备相位超前能力。
• 滞后-超前 校正器
  例如PID控制器。

PID 控制器

1. 理想的PID
   作用：具备相位滞后、超前的功能。
   缺点：理想的微分环节$T_{d}S$在现实中很难实现。
   

2. 工程中可实现的PID
   串联一个惯性环节到理想微分环节前。
   

3. 以滤波器的角度看PID
   PD：高通滤波器。
   PI：低通滤波器。
   PID：带通滤波器。

知识盲点

离散（时间）系统：有一处或几处是脉冲序列信号或数字编码序列信号？
条款脉冲序列、条幅脉冲序列？
采样控制系统？
数字控制系统？
零阶保持器：把理想的离散的脉冲信序列转换为连续信号？
脉冲的冲量（面积）== 采样的瞬时？

频率法校正器设计

略…

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控制系统分类

1. 经典控制理论；现代控制理论
2. 线性控制理论；非线性控制理论
3. 最优控制；
4. 预测控制；
5. 鲁棒控制
6. 数字控制系统；连续控制系统
7. 随动系统；

一、按给定信号的形式不同，可将系统划分为恒指控制系统、随动控制系统和程序控制系统。
1.恒值控制系统
恒值控制系统（也成为定制系统、或调节系统）的控制输入是恒定值，要求被控量（液面水位、下罐压力）保持给定值不变，例如：液面控制系统、直流电动机调速系统等。
2.随动控制系统
随动控制系统（也称为伺服系统）的控制输入是变化规律未知的时间函数，系统的任务是使被控量按同样的规律变化，并与输入信号的偏差保持在规定范围内，例如：函数记录仪、自动火炮系统和飞机-自动驾驶系统等。
3.程序控制系统
程序控制系统的给定信号按预先编制的程序确定，要求被控量按相应的规律随控制信号变化，机械加工中的数控机床就是典型的例子。

二、按系统参数是否随时间变化，可以将系统分为定常系统和时变系统。
为时变系统。严格的定常系统是不存在的，在所考察的时间间隔内，若系统参数的变化相对于系统的运动缓慢得多，则可将其近似作为定常系统处理。

三、按系统是否满足叠加原理可以将系统分为线性系统、非线性系统
线性定常系统微分方程的一般形式：

当方程中有数字就不能满足叠加性原理。线性系统的主要特点是具有齐次性和叠加性，系统响应与初始状态无关，系统的稳定系与输入信号无关。
如果控制系统有一个及以上非线性元件，这样的系统就属于非线性控制系统。非线性系统不满足叠加原理，系统响应与初始状态和外作用都有关。
实际物理系统都具有某种程度的非线性，但在一定范围内通过合理简化，大量物理系统都可以足够准确地用线性系统来描述。

四、根据信号形式可以分为连续系统和离散系统
如果系统中各部分的信号都是连续函数形式的模拟量，则这样的系统就称为连续系统。如果系统中有离散信号（脉冲序列或数码），则这样的系统就称为离散系统（包括采样系统和数字系统）。计算机控制系统就是典型的离散系统。

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最优控制

目标函数（指标）：线性或非线性
限制条件，线性、非线性
使目标函数最小或最大
方法：变分法、极小（大）值法、动态规划
若目标函数和约束条件都是线性的：线性最优化、否则：非线性最优化
目标函数：泛函：函数的函数，时间函数的函数
静态最优化
动态最优化

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自动控制、运动控制、过程控制

自动控制理论、运动控制和过程控制是控制工程中的三大核心领域，它们既有紧密联系，又在研究对象、应用场景和设计方法上存在显著区别。以下是它们的联系与区别的详细分析：

领域	研究对象	典型应用场景
自动控制理论	通用动态系统（线性/非线性、时变/时不变）	理论框架，不特定于具体工程领域
运动控制	机械系统的位置、速度、力/力矩控制	机器人、数控机床、无人机、伺服电机
过程控制	工业过程的温度、压力、流量、成分控制	化工、炼油、电力、制药等连续生产过程

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参考文献

【1】自动控制原理 - 黄勤珍主编；汪华章，蒋玉莲，向强等编委 / 2012.08 / 234页
【2】DeepSeek