27、量子系统中的可观测量、状态与动力学

量子系统中的可观测量、状态与动力学

在量子系统的研究中，可观测量、状态和动力学是核心概念。下面将深入探讨这些概念及其相关性质。

1. 基本命题与定义

• 命题 1 ：设 $A$ 为冯·诺依曼代数，$\omega$ 为忠实正规态，与之相关的自同构模群为 $\sigma_t^{\omega}$，$t \in R$。$A_0 \subset A$ 是冯·诺依曼子代数，$\omega_0$ 是 $\omega$ 在 $A_0$ 上的限制，相关的模自同构为 $\sigma_t^{\omega_0}$。以下条件等价：
  1. 存在尊重该状态的正规条件期望 $E : A \to A_0$，即 $\omega \circ E = \omega$。
  2. 对于所有 $t \in R$，$\sigma_t^{\omega}[A_0] \subseteq A_0$。
  3. 对于所有 $A \in A_0$，$\sigma_t^{\omega_0}[A] = \sigma_t^{\omega}[A]$。
• 量子动力系统定义 ：量子动力系统是三元组 $(A, \Theta, \omega)$，其中 $A$ 是具有单位元 $1l$ 的 $C^*$ 代数，动力学 $\Theta$ 对应于自同构群 $\Theta_t : A \to A$，$t \in G$（$G = Z$ 或 $G = R$），满足 $\Theta_t \circ \Theta_s = \Theta_s \circ \Theta_t = \Theta_{t +