39、量子系统与经典概率系统的关联及动力学选择

量子系统与经典概率系统的关联及动力学选择

1. 量子粒子在谐振势中的研究

在量子力学中，对于量子粒子在谐振势中的情况，我们可以从一些基本的算符开始研究。定义了如下算符：
[
a =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \
1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
a^{\dagger} =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{pmatrix}
]
并且有：
[
a|0\rangle = 0, \quad a|1\rangle = |0\rangle, \quad a^{\dagger}|0\rangle = |1\rangle, \quad a^{\dagger}|1\rangle = 0
]
以及 (n = a^{\dagger}a)，({a^{\dagger}, a} = 1)。(a) 和 (a^{\dagger}) 的厄米线性组合可以用自旋算符表示：
[
a + a^{\dagger} = S_1 = \tau_1, \quad i(a - a^{\dagger}) = S_2 = \tau_2
]
对于给定的初始状态，其期望值的演化可以通过薛定谔方程或冯·诺依曼方程计算。

接下来构建一个概率自动机来实现量子粒子在谐振势中的量子子系统。出发点是经典粒子在谐振势中的刘维尔方程。经典粒子在谐振势 (V = \frac{c}{2}z_kz_k) 中，其相空间概率 (w(z, p)) 的时间演化可以用