26、量子系统中的可观测量、状态与动力学

量子系统中的可观测量、状态与动力学

在量子统计力学的物理系统中，常常涉及到不可区分的粒子，这些粒子的行为可以通过满足特定代数关系的产生和湮灭算符来描述。下面我们将深入探讨这些概念及其相关理论。

1. 玻色子与费米子

物理系统通常由不可区分的粒子组成，这些粒子可以是玻色子或费米子，它们分别满足不同的代数关系，即对易关系（CCR）和反对易关系（CAR）。

设 (H) 是描述单个费米子或玻色子的希尔伯特空间，({|\psi_i\rangle}_{i\in N}) 是一组正交归一基（ONB）。引入产生和湮灭算符：
- (a_i := a(\psi_i))，满足 (a(\psi_i)|vac\rangle = 0)，(\forall i\in N)
- (a^{\dagger}_i := a^{\dagger}(\psi_i))，满足 (a^{\dagger}_i|vac\rangle = |\psi_i\rangle)

如果粒子是费米子，算符需满足 CAR；如果是玻色子，则满足 CCR。通过将任意态 (|\psi\rangle\in H) 沿选定的 ONB 展开：(|\psi\rangle = \sum_{i} c_i|\psi_i\rangle)，可以定义一般态的产生和湮灭算符：
- (a^{\dagger}(\psi) = \sum_{i\in N} c_i a^{\dagger} i)
- (a(\psi) = \sum {i\in N} c^{*}_i a_i)

这些算符满足以下关系：
- 对于玻色子：([a(\psi), a(\varphi)] = [a^{\dagg