8.13.8 ACM-ICPC 多项式与生成函数 多项式初等函数

8.13.8 ACM-ICPC 多项式与生成函数 多项式初等函数

本页面包含多项式常见的初等函数操作。具体而言，本页面包含如下内容：

• 多项式求逆
• 多项式开方
• 多项式除法
• 多项式取模
• 多项式指数函数
• 多项式对数函数
• 多项式三角函数
• 多项式反三角函数
• 初等函数与非初等函数

初等函数与非初等函数

初等函数的定义

若域 FFF 中存在映射 u→∂uu \to \partial uu→∂u 满足：

1. 

则称这个域为 微分域。

若微分域 FFF 上的函数 uuu 满足以下的任意一条条件，则称该函数 uuu 为初等函数：

1. uuu 是 FFF 上的代数函数。
2. uuu 是 FFF 上的指数性函数，即存在 a∈Fa \in Fa∈F 使得 ∂u=u∂a\partial u = u \partial a∂u=u∂a。
3. uuu 是 FFF 上的对数性函数，即存在 a∈Fa \in Fa∈F 使得 ∂u=∂aa\partial u = \frac{\partial a}{a}∂u=a∂a​。

常见的初等函数

以下是常见的初等函数：

1. 代数函数：存在有限次多项式 PPP 使得 P(f(x))=0P(f(x)) = 0P(f(x))=0 的函数 f(x)f(x)f(x)，如 2x+1,x,(1+x2)−1,∣x∣2x + 1, \sqrt{x}, (1 + x^2)^{-1}, |x|2x+1,x​,(1+x2)−1,∣x∣。
2. 指数函数
3. 对数函数
4. 三角函数
5. 反三角函数
6. 双曲函数
7. 反双曲函数
8. 以上函数的复合，如：

常见的非初等函数

以下是常见的非初等函数：

1. 误差函数：

多项式求逆

给定多项式 f(x)f(x)f(x)，求 f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)。

解法

倍增法

首先，易知：

假设现在已经求出了 f(x)f(x)f(x) 在模 x⌈n2⌉x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}x⌈2n​⌉ 意义下的逆元 f0−1(x)f^{-1}_{0}(x)f0−1​(x)。有：

两边平方可得：

两边同乘 f(x)f(x)f(x) 并移项可得：

递归计算即可。

时间复杂度: