4.3.1 蓝桥杯动态规划之自上而下的树形DP

4.3.1 蓝桥杯动态规划之自上而下的树形DP

引言

动态规划（Dynamic Programming，DP）是解决各类算法问题的一种重要方法。在蓝桥杯等编程竞赛中，动态规划尤其重要，尤其是树形DP。树形DP是一种特殊的动态规划方法，用于解决树（或树状结构）上的各类问题。本文将讨论自上而下的树形DP方法，这是处理树形结构数据时的一个有效策略。

树形DP基础

在介绍自上而下的树形DP之前，我们需要了解树形DP的基本概念。树形DP本质上是在树这种数据结构上应用动态规划的技巧。树形DP问题的关键在于确定状态和状态转移方程。

自上而下的树形DP

与传统的动态规划不同，树形DP通常没有固定的状态转移方程，状态的定义和转移取决于具体问题。自上而下的树形DP指的是从树的根节点开始，沿着树向下进行状态转移，直到叶子节点。

示例问题

假设我们有一棵树，每个节点都有一个权值。我们的目标是找到一条从根节点到叶子节点的路径，使得路径上节点的权值和最大。

状态定义

在这个问题中，我们可以定义状态 dp[u] 为从节点 u 到叶子节点的最大权值和路径。

状态转移

对于树中的每个节点 u，我们考虑它的所有子节点 v。状态