卡农(canon)

题意

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。他将声音分成n个音阶，并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由1到n个音阶构成的和声，即从n个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。为了强调与卡农的不同，他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性，他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。现在的问题是：小余想知道包含m个片段的音乐一共有多少种。两段音乐a和b同种当且仅当将a的片段重新排列后可以得到b。例如：假设a为{{1,2},{2,3}}，b为{{3,2},{2,1}}，那么a与b就是同种音乐。由于种数很多，你只需要输出答案模100000007（质数）的结果。

20%的数据满足n,m≤5，50%的数据满足n,m≤3000，100%的数据满足n,m≤1000000。

题解：

这题好神啊，感觉思路很妙。
考虑题目要求的限制：1.m个集合互不相同；2.每个元素出现偶数次；3.无序。
一开始考虑的是集合不同+无序=集合字典序递增，但这样的转态显然难以记录。
后来想的是两个相同的集合不会对元素的奇偶性有影响，于是可以先不考虑1的限制，然后容斥计算，但这过程中有序和无序的转化很麻烦，因为有重复的集合。
然后自闭。
正解：
考虑集合元素互不相同时，无序和有序容易转化，而显然有序更好求，就先去掉限制3。
如果只有限制1显然是$A_{2^n-1,m}$，考虑如何高效地维护限制2，显然不能一位位算，这样不仅效率低而且没法使集合不同。这里巧妙地利用了题目的性质：因为只关心奇偶性，于是无论前面是多少，每一个集合都可以使每一个元素变成奇或偶，于是如果确定了前$m-1$个集合，那么第$m$个集合是唯一确定的！于是前记$m$个的方案数为$f[m]$，就是$A_{2^n-1,m}$，但还要减去第m个为空集以及第m个与前面集合相同的情况。空集直接减去$f[m-1]$，枚举与前面哪一个相同，剩下的不相同的方案数就是$f[m-2]$，相同的又有$2^n-1$种，于是又减去$(i-1)\ast f[m-2]\ast A_{2^n-1,m}$即可。