求射线与三角形的交点，并附代码

1. 射线与平面求交

射线可以描述为：
$$p(t)=p_0+t\ast \overrightarrow{u}$$
其中，p₀是射线的起始点，u是射线的方向向量（需要单位化），t是参数，表示射线上任意一点到起点的距离。

计算射线与三角形平面的交点的数学公式可以分为两部分：首先找到射线与三角形所在平面的交点，然后判断该交点是否在三角形内部。以下是详细的步骤和公式：

平面可以描述为：
$$\overrightarrow{n}\cdot (p-p_0^{’})=0$$
其中，p 是平面上的任意一点，n 是平面的单位法向量，p₀^' 是平面上任意一点（可以是三角形的任意一个顶点）。

为了找到射线与平面的交点，我们需要将射线的方程代入平面的方程中，并解出参数 t：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{n}\cdot (p_0+t\ast \overrightarrow{u}-p_0^{’})=0 \\ \overrightarrow{n}\cdot p_0+t(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u})-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’}=0 \\ t(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u})=\overrightarrow{n}\cdot p_0-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’} \\ t=(\overrightarrow{n}\cdot p_0-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’})/(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}) \end{gathered}$$
如果 n · u ≠ 0（即射线的方向向量与平面的法向量不垂直），则可以求出 t 的值，进而求出交点 p(t)。

2. 判断交点是否在三角形内部

求出交点后，我们需要判断该交点是否在三角形内部。这可以通过重心坐标法来实现

啥是重心坐标：

如图，对于空间三角形P₁、P₂、P₃内任一点P，必定唯一存在三个数w₁、w₂、w₃，满足：
$$\begin{gathered} w_1+w_2+w_3=1 \\ P=w_1\ast P_1+w_2\ast P_2+w_3+P_3 \end{gathered}$$
则（w₁,w₂,w₃）就称为此三角形上P点的（归一化）重心坐标。

重心坐标求解

构建方程组，求解P点坐标
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{w}_1+w_2+w_3=1\\ P_x=w_1\ast P_{1x}+w_2\ast P_{2x}+w_3\ast P_{3x}\\ P_y=w_1\ast P_{1y}+w_2\ast P_{2y}+w_3\ast P_{3y}\end{array}= \\ \{\begin{array}{l}{P}_x-P\end{array} \end{gathered}$$