求射线与三角形的交点，并附代码

1. 射线与平面求交

射线可以描述为：
$$p(t)=p_0+t\ast \overrightarrow{u}$$
其中，p₀是射线的起始点，u是射线的方向向量（需要单位化），t是参数，表示射线上任意一点到起点的距离。

计算射线与三角形平面的交点的数学公式可以分为两部分：首先找到射线与三角形所在平面的交点，然后判断该交点是否在三角形内部。以下是详细的步骤和公式：

平面可以描述为：
$$\overrightarrow{n}\cdot (p-p_0^{’})=0$$
其中，p 是平面上的任意一点，n 是平面的单位法向量，p₀^' 是平面上任意一点（可以是三角形的任意一个顶点）。

为了找到射线与平面的交点，我们需要将射线的方程代入平面的方程中，并解出参数 t：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{n}\cdot (p_0+t\ast \overrightarrow{u}-p_0^{’})=0 \\ \overrightarrow{n}\cdot p_0+t(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u})-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’}=0 \\ t(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u})=\overrightarrow{n}\cdot p_0-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’} \\ t=(\overrightarrow{n}\cdot p_0-\overrightarrow{n}\cdot p_0^{’})/(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}) \end{gathered}$$
如果 n · u ≠ 0（即射线的方向向量与平面的法向量不垂直），则可以求出 t 的值，进而求出交点 p(t)。

2. 判断交点是否在三角形内部

求出交点后，我们需要判断该交点是否在三角形内部。这可以通过重心坐标法来实现

啥是重心坐标：

如图，对于空间三角形P₁、P₂、P₃内任一点P，必定唯一存在三个数w₁、w₂、w₃，满足：
$$\begin{gathered} w_1+w_2+w_3=1 \\ P=w_1\ast P_1+w_2\ast P_2+w_3+P_3 \end{gathered}$$
则（w₁,w₂,w₃）就称为此三角形上P点的（归一化）重心坐标。

重心坐标求解

构建方程组，求解P点坐标
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{w}_1+w_2+w_3=1\\ P_x=w_1\ast P_{1x}+w_2\ast P_{2x}+w_3\ast P_{3x}\\ P_y=w_1\ast P_{1y}+w_2\ast P_{2y}+w_3\ast P_{3y}\end{array}= \\ \{\begin{array}{l}{P}_x-P_{3x}=w_1\ast (P_{1x}-P_{3x})+w_2\ast (P_{2x}-P_{3x})\\ P_y-P_{3y}=w_1\ast (P_{1y}-P_{3y})+w_2\ast (P_{2y}-P_{3y})\\ w_3=1-w_1-w_2\end{array} \end{gathered}$$
设向量C、A、B，分别为C = P - P₃，A=P₁-P₃，B=P₂-P₃

故方程组可写为如下表达式
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{C}_x=w_1{A}_x+w_2{B}_x\\ C_y=w_1{A}_y+w_2{B}_y\\ w_3=1-w_1-w_2\end{array}= \\ \{\begin{array}{l}{w}_1=\frac{C_x{B}_y-C_y{B}_x}{A_x{B}_y-A_y{B}_x}=\frac{\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{B}}{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}=\frac{(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}\\ w_2=\frac{C_x{A}_y-C_y{A}_x}{A_x{B}_y-A_y{B}_x}=\frac{\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{A}}{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}=\frac{(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{A})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}\\ w_3=1-w_1-w_2\end{array} \end{gathered}$$
以下过程，要将叉乘转为点乘，在<<OpenGL编程指南（原书第9版）>>一书，关于transform feedback的例程中，着色器计算射线与三角形的交点时，用的点乘进行计算，遂进行分析推导，如下：

通过标量三重积公式：
$$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$$
可得
$$\begin{gathered} w_1=\frac{(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot [(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{B})\times \overrightarrow{B}]}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})} \\ {w}_2=\frac{(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{A})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})}=\frac{\overrightarrow{B}\cdot [(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{A})\times \overrightarrow{A}]}{(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})} \end{gathered}$$
通过向量三重积公式：
$$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$$
由此可得：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{A}\cdot [(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{B})\times \overrightarrow{B}]=\overrightarrow{A}\cdot ((\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B})\overrightarrow{C}-(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C})\overrightarrow{B})=(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C})-(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}) \\ \overrightarrow{B}\cdot [(\overrightarrow{C}\times \overrightarrow{A})\times \overrightarrow{A}]=\overrightarrow{B}\cdot ((\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A})\overrightarrow{C}-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C})\overrightarrow{A})=(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C})-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}) \end{gathered}$$
而根据拉格朗日恒等式：
$$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^2+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2$$
由此可得：
$$(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})=\Vert \overrightarrow{A}{\Vert }^2\Vert \overrightarrow{B}{\Vert }^2-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}{)}^2$$
故
$$\begin{gathered} w_1=\frac{(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C})-(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B})-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})} \\ {w}_2=\frac{(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C})-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})}{(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B})-(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})} \end{gathered}$$

着色器代码

原例程代码如下：

bool intersect(vec3 origin, vec3 direction, vec3 v0, vec3 v1, vec3 v2, out vec3 point)
{
    vec3 u, v, n;
    vec3 w0, w;
    float r, a, b;

    u = (v1 - v0);
    v = (v2 - v0);
    n = cross(u, v);

    w0 = origin - v0;
    a = -dot(n, w0);
    b = dot(n, direction);

    r = a / b;
    if (r < 0.0 || r > 1.0)
        return false;

    point = origin + r * direction;

    float uu, uv, vv, wu, wv, D;

    uu = dot(u, u);
    uv = dot(u, v);
    vv = dot(v, v);
    w = point - v0;
    wu = dot(w, u);
    wv = dot(w, v);
    D = uv * uv - uu * vv;

    float s, t;

    s = (uv * wv - vv * wu) / D;
    if (s < 0.0 || s > 1.0)
        return false;

    t = (uv * wu - uu * wv) / D;
    if (t < 0.0 || (s + t) > 1.0)
        return false;

    return true;
}

为了更清楚的与上面对应，变量改为如下

bool intersect(vec3 P0, vec3 u, vec3 P1, vec3 P2, vec3 P3, out vec3 P)
{
    vec3 A, B, n;
    vec3 w0, w;
    float t, a, b;
	
    //三角形边向量，以及法向量
    A = (P1 - P3);
    B = (P2 - P3);
    n = cross(A, B);

    w0 = P0 - P3;
    a = -dot(n, w0);
    b = dot(n, u);
	
    //求参数t
    t = a / b;
    //t < 0.0,交点在射线起点之前
    //t > 1.0,交点在射线延伸方向之外
    if (t < 0.0 || t > 1.0)
        return false;
    
    //计算交点
    P = P0 + r * u;

    float AA, AB, BB, CA, CB, D;

    AA = dot(A, A);
    AB = dot(A, B);
    BB = dot(B, B);
    C = P - P3;
    CA = dot(C, A);
    CB = dot(C, B);
    D = AB * AB - AA * BB;

    float w1, w2;

    w1 = (AB * CB - BB * CA) / D;
    if (w1 < 0.0 || w1 > 1.0)
        return false;

    w2 = (AB * CA - AA * CB) / D;
    if (w2 < 0.0 || (w1 + w2) > 1.0)
        return false;

    return true;
}