6.线段求交（学习笔记）

6.1 线段求交

首先对地图叠合问题的最简单形式做一讨论。也就是说，（相互叠合的）两个地图层，分别都是由一组线段表示的某个网络。以图为例，可能有若干小比例图层分别存放道路、铁路和河流信息。

这些线段将导出的一些子区域，不过在此我们对这些子区域并不感兴趣。后面将会考虑更为复杂的情况——（相互叠合的）地图不是网络，而是平面经过子区域划分之后导出的、具有明确含义的一些子区域。

6.1.1 为解决网络叠合的问题，首先需要用几何的概念来描述这一问题。

就两个网络的叠合而言，对应的几何条件是这样的：给定由线段组成的两个集合，计算出来自于其中一个集合的所有线段，与来自于另一个集合的所有线段之间的交点。

为了做进一步简化，我们还将把分别来自两个集合的线段合到一起，构成一个集合，然后来考虑其中所有线段之间的交点。

进而将问题定义为：给定由平面上n条闭线段构成的一个集合S，报告出S中各线段之间的所有交点。

乍看起来，这个问题并没有什么挑战性——可以依次检查每一对线段，看看它们是否相交；如果的确相交，就将其交点报告出来。显然，这种直截了当式的算法需要O(n²)时间。就某种意义而言，这个结果甚至是最优的：若如图所示，每两条线段都相交，那么无论采用什么算法，至少都需要Ω(n²)时间。

在实际的环境中，大多数的线段要么根本不与其他线段相交，要么只与少数的线段相交，因此，交点的总数远远达不到平方量级。因此，我们希望得到的算法，其运行时间不仅取决于输入中线段的数目，还取决于（实际的）交点数目。这样的算法，被称为"输出敏感的"算法（output-sensitive-algorithm）。

6.1.2 交点敏感的算法

在找出所有交点的过程中，如何才能避免对所有的线段对进行测试呢？这里必须利用这种情况的几何特性——只有那些相互靠近的线段，才可能会相交；而相距甚远的线段则不可能相交。

设需要对其进行求交的线段构成集合S:={s₁,s₂,…,s_n}，首先排除一种简单的情况，如图所示，将一条线段在y轴上的正交投影，定义为它的y区间（y-interval）。

任何两条线段，只要其y区间没有重叠部分——此时，也可以说，它们在y方向上相距很远——它们就一定不会相交。这样，只需要对那些y区间相互有所重叠（即与同一条垂线相交）的线段对进行测试。

平面扫描算法（plane sweep algorithm）

为找出这些线段对，可以想象着用一条直线l，从一个高于所有线段的位置起，自上而下地扫过整个平面。在这条假象的直线扫过平面的过程中，跟踪记录所有与之相交的线段——以找出所需的所有线段对。

在算法中，使用的直线l被称为扫描线（sweep line）。与当前扫描线相交的所有线段构成的集合，被称为扫描线的状态（status）。

只有在某些特定的位置，才需要对扫描线的状态进行更新。我们称这些位置为平面扫描算法的事件点（event point）。就本算法而言，这里的事件点就是各线段的端点。

事件点

只有在扫描线触及某个事件点的时候，算法才会进行实质的处理——更新扫描线的状态，并进行一些相交测试。具体而言：

• 上端点

  若事件点为某个线段的上端点，则意味着这条直线段将开始与扫描线相交，因此需要将该线段插入到状态结构（status structure）中。然后，需要将这条线段，和那些与当前扫描线相交的其他线段分别进行测试，确定是否相交。

• 下端点

  若事件点为某个线段的下断点，则意味着这条线段将不再与扫描线相交，因此需要将该线段从状态结构中删去。

局限性

按照这样的方式，只需要对那些可能与某条水平直线同时相交的线段进行测试。不幸的是，这还不够——因为，在某些（特殊的）情况下，尽管实际的交点数目很少，却依然需要对平方量级的线段进行测试。

一个简单例子就是，所有线段都是垂直的，而且都与x坐标轴相交。因此，目前的这个算法还算不上是输出敏感的。

问题在于，与同一扫描线相交的两条线段，在水平方向上仍然有可能相距很远。

临近性考虑

当考虑到水平方向的临近性后，可以沿着扫描线，将与之相交的所有线段自左向右排序。

这样，只有当其中的某两条线段沿水平方向相邻时，才需要对其进行测试。这就意味着，每引入一条线段，只需要将其与另外的两条线段（具体地讲，就是与新线段上端点左、右紧邻的那两条线段）进行测试。此后，当扫描线向下推进到某个新的位置时，与某条线段紧邻的邻居有可能会发生变化，此时，也需将它与新的邻居进行测试。

在算法的状态结构中，这一新策略应该有所反映——状态结构不仅要记录与当前扫描线相交的所有线段，而且还要对这些线段排序。

在将这些构思落实为高效的算法之前，需要确定，这种方法正确。验证之前，首先忽略掉一些"棘手"的情况——假设：没有水平线段；任何两条线段最多相交于一点（也就是说，任何两条线段都不会有局部的相互重叠）；任何三条线段不会相较于一点。虽然上述假设情况，很容易处理，但是为了更好的论证，目前先置之不理的好。

对于，某线段端点落在另一条线段上的情况，等到扫描线触及相应端点时，这类交点也会被检测。

因此，目前唯一剩下的问题：线段之间的每一交点，是否能被进行检测？

引理

设两条非水平的线段s_i和s_j只相交于其内部的一点p，而且，任何第三条线段都不经过p。则在（扫描线到达）高于p的某个事件点处（时），s_i和s_j必然会彼此紧邻，并因此接受相交测试（于是对应的交点将被发现）。

证明

如图所示，令l为比p略高的一条水平线。只要l与p相距足够近，则沿着l、s_i和s_j必然是紧邻的（更准确地说，没有任何事件点落在我们所取的l上，而且也没有任何事件点夹在l与通过p的水平线之间）。

总而言之，必然存在某个位置，当扫描线到达这个位置时，s_i和s_j是紧邻的。另一方面，在算法开始的时刻，s_i和s_j并不是紧邻的——此时，扫描线的位置比所有的线段都高，故状态结构还是空的。因此，必然存在某个事件点q，在q的位置，s_i和s_j开始变为紧邻的，从而接受相交测试。

事件点添加新成员

就目前而言，事件点既包括（事先就可以确定的）各线段端点，也包括（在算法运行过程中逐步发现的）交点。

在扫描线移动的过程中，要维护一个有序序列，该序列由所有与当前扫描线相交的线段组成。每遇到一个事件点，都会通过一些动作，对状态结构进行更新，并检测出新的交点——具体的处置方法，取决于事件点类型。

• 上端点

  事件点为上端点，意味着将有一条新的线段开始与扫描线相交，如下图所示。

  

  新引入的线段，需测试判断它是否与沿扫描线与之紧邻的另外两条线段相交。

  只有位于当前扫描线下方的交点，才需要加以考虑；高于扫描线的交点，必然已经被检测过了。

  例如，线段s_i和s_k原本是紧邻的，而（在某个时刻）第三条线段s_j的上端点出现在它们之间，则此时就必须分别将s_j与s_i和s_k进行测试。在检测出来的（最多两个）交点中，只要位于当前扫描线的下方，就是一个新的事件点。在处理完该上端点之后，将继续考虑下一个事件点。

• 交点

  只有位于当前扫描线下方的交点，才是待处理的事件点；位于上方的交点，必然是已经处理完成的事件点。

  

  如图所示，有关的两条相关线段就会交换其（沿扫描线）次序。它们各自可能（最多）有一条新的紧邻线段，因此，必须分别将它们与其各自的新邻居进行测试，以找出可能得交点。

  假设在扫描线触及s_k和s_l的交点那一时刻，有四条线段s_j、s_k、s_l和s_m依次出现在扫描线上。此后，s_k和s_l将交换次序，于是需要分别对s_l和s_j、s_k和s_m进行测试，以找出它们可能位于扫描线下方的交点，并添加为事件点（注意，该事件点可能已经被发现——例如，两条线段在此前的一段时间内曾经是紧邻的，后来变得不再紧邻，最终又再次变成是相互紧邻的）。

• 下端点

  若事件点为某条线段的下端点，则它此前的（一左一右）两个邻居现在就会变成是相互紧邻的，因此需要对它们进行相交测试。若有交点，且交点位于扫描线的下方，则该交点应添加为事件点（注意，事件点可能已被添加）。

  

  如图，在某一时刻，沿着扫描线，有依次相邻的三条线段s_k、s_l和s_m，扫描线继续前移后遇到了s_l的下端点。于是，s_k和s_m将变成是相互紧邻的。

在平面扫描过程中，如下不变性始终成立：（在任何时刻）处于扫描线上方的所有交点都已经被正确地检测出来。

算法涉及数据结构

• 平衡二分查找树（balanced binary search tree）

  平衡二分查找树是一种特殊的二叉搜索树，它在插入或删除节点时通过自动调整结构，保持左右子树高度差不超过一定阈值（通常为1）。这种平衡性保证了树的高度始终为O(log n)，从而确保查找、插入、删除等操作的时间复杂度稳定在O(log n)。

  常见实现包括：AVL树（由苏联科学家Adelson-Velsky和Landis于1962年发明）、红黑树、Treap等。

  以下是AVL树的一般性实现：

  #include <iostream>
  using namespace std;
  
  class AVLNode{
  public:
      int key;
      AVLNode* left;
      AVLNOde* right;
      int height;
      
      AVLNode(int k):key(k),left(nullptr),right(nullptr),height(1){}
  };
  
  class AVLTree{
  private:
      AVLNode* root;
      
      //获取节点高度
      int getHeight(AVLNode* node){
          return node ? node->height : 0;
      }
      
      //计算平衡因子
      int getBalanceFactor(AVLNode* node){
          return node ? getHeight(node->left) - getHeight(node->right) : 0;
      }
      
      //右旋操作
      /*
          Y（失衡节点）             X（新根节点）
         / \       右旋后         / \
        X   C     ========>     A   Y
       / \                          / \
      A   B                        B   C
      1. 将X的右子树B挂到Y的左子树位置
      2. 将Y挂到X的右子树位置
      */
      AVLNode* rightRotate(AVLNode* y){
          AVLNode* x = y->left;
          AVLNode* T3 = x->right;
          
          x->right = y;
          y->left = T3;
          
          y->height = max(getHeight(y->left),getHeight(y->right)) + 1;
          x->height = max(getHeight(x->left),getHeight(x->right)) + 1;
          
          return x;
      }
      
      //左旋操作
      /* 
            X（失衡节点）               Y（新根节点）
           / \        左旋后          / \
          A   Y      ========>      X   C
             / \                   / \
            B   C                 A   B
        1.将Y的左子树B挂到X的右子树位置
        2.将X挂到Y的左子树位置
      */
      AVLNode* leftRotate(AVLNode* x){
          AVLNode* y = x->right;
          AVLNode* T2 = y->left;
          
          y->left = x;
          x->right = T2;
          
          x->height = max(getHeight(x->left),getHeight(x->right)) + 1;
          y->height = max(getHeight(y->left),getHeight(y->right)) + 1;
          
          return y;
      }
      
      //递归插入节点
      AVLNode* insertHelper(AVLNode* node,int key){
          if(!node) return new AVLNode(key);
          
          if(key < node->key)
              node->left = insertHelper(node->left,key);
          else if(key > node->key)
              node->right = insertHelper(node->right,key);
          else
              return node;	//不允许重复