5.退化及鲁棒性——几何算法（学习笔记）

一个几何算法的建立过程，往往要经过三个阶段。

退化：算法或机器学习模型因输入数据分布变化（Data Drift）或环境动态性，预测准确性下降。

例如，推荐系统模型因用户兴趣迁移，推荐结果逐渐偏移实际需求。

鲁棒性：计算机系统在面临异常输入、资源波动、攻击或意外故障时，仍能维持核心功能、稳定性和性能的能力。

算法鲁棒性例子：

• 场景：算法对噪声数据、缺失值或分布偏移的适应性。
• 例子：图像识别模型在低光照、模糊图像中仍能准确分类。

• 第一个阶段，需要理解我们正在处理的几何概念。

  然而，思路总是会被一些问题打乱，因此要尽力去忽略这些问题。这类令人讨厌的问题，有的来自多点共线，有的来自垂直线段。在设计或理解算法的最初阶段，暂且将这些退化情况搁到一边，是一种十分有益的策略。

• 第二个阶段，必然对前一阶段所设计的算法进行调整，使之即使对退化情况也依然能正确处理。在完成这一任务时，初学者往往会将一大堆的特殊情况引入到算法之中。

  然而在很多情况下，还有更好的办法——通过对问题的几何性质做再次的分析，往往可以将各种特例集成到一般情况当中。例如在凸包算法中，只要使用字典序来代替x坐标顺序，就可以处理多个点具有相同x坐标的问题。

  在本书的大多数算法中，我们始终都尽量去采用这种集成式的方法，来处理特殊情况。当然，在你初次阅读这些算法的时候，还是不要过于这些特殊情况，这样才可以使你更好地理解算法。只有在理解了算法对一般情况的处理过程之后，才能开始考虑有关退化的问题。

  当今计算几何界的大多数研究人员都已经意识到：自己所做的"一般性位置假设"（general position assumption），在实际应用中并不成立；一般而言，集成式的处理方法，是处理特殊情况的最佳方法。此外，还有若干一般性的方法——所谓的"符号扰动发"（symbolic perturbation scheme）。在算法的设计与实现过程中，借助于这类手段，你可以不必考虑退化情况——即使退化情况出现了，算法依然可以正常运行。

• 最后一个阶段是具体的实现。这时，需要考虑到基本的操作（比如，测试某个点究竟是位于一条有向直线的左侧、右侧，还是落在其上）。

  在具体实现的阶段还会出现另一个问题——企图"对实数进行精确运算"是不现实的——因此对于其后果，我们不可不有所了解。在几何算法的实现过程中，所遇到的种种麻烦，究其根源，往往可以归结为鲁棒性（robustness）的问题。

  一种方法就是借助于某个（根据具体的问题可能采用整数、有理数甚至代数数来）支持精确运算（exact arithmetic）的软件包，然而运行速度会因此变得很慢。

  另一种方法是对算法本身作适当调整，使之能够检测到可能出现的不一致问题，并采取适当的措施以避免程序崩溃。此时，就不能保证算法的输出一定正确，因此，确定其输出的精确性就变得很重要。（这也是前一节设计凸包算法时所做的一项工作——尽管算法给出的多边形有可能并不凸，但是我们还是可以肯定，输出的多边形在结构上是正确的，而且它与凸包十分接近）。

  最后，还可以根据具体的输入，以数值的形式预测出，为了得到问题的正确结果，究竟需要达到多高的精度。