springvil的博客

你是否曾想过，把 Boost.Polygon 这头‘性能怪兽’塞进 Qt 的绘图管线里，让它在 QWidget 上乖乖跑起来，还要做到‘代码一眼能看懂、后续随便改’？今天这篇实战笔记，就带你拆解一套“Boost.Polygon + Qt”的完整范例。作者用不到 1 500 行头文件，把点、多边形、多边形集合、连通性提取、属性合并五大高频场景全部封装成“step-by-step”的可视化 Demo。如何把任意几何类型注册到 Boost.Polygon 的概念体系；如何让它与 QPainter 无缝衔接。

/ DCEL.h - 定义DCEL的三大核心结构// 前向声明，因为结构之间互相引用// 顶点结构 - 存储点的位置和关联边// 顶点的坐标位置// 从该顶点出发的一条边（用于遍历）// 将顶点转为字符串显示// 面结构 - 表示一个封闭区域// 外边界环的起始边（必须存在）// 内边界环列表（孔洞，可选）// 半边结构 - DCEL的核心，表示有向边// 边的起点顶点// 反向的孪生边// 该边所属的面// 同一环中的下一条边// 同一环中的前一条边。

平面扫描算法是计算几何中的经典算法，通过巧妙的扫描线思想和高效的数据结构，成功将线段交点问题的时间复杂度从O(n²)优化到O((n+k)log n)。本文详细解析了算法的C++实现，包括关键的数据结构设计和算法流程。扫描线范式：将二维几何问题转化为一维序列处理问题事件驱动：通过事件点来驱动算法流程，有序处理几何变化状态维护：动态维护与扫描线相交的线段集合相邻检测：只在状态结构中相邻的线段之间检测新交点平衡数据结构：使用AVL树保证所有操作的高效性。

本文介绍了计算点集凸包的安德鲁单调链算法及其C++实现。该算法通过两次扫描（从左到右和从右到左）构建凸包上下边界，核心是利用叉积判断点的相对位置来维护凸性。文章详细解析了算法步骤，包括预处理排序、去重处理、凸包构建主逻辑，以及面积计算和点包含检测等辅助功能。C++实现中运用了STL算法优化性能，并通过边界条件处理确保算法鲁棒性。该算法在碰撞检测、路径规划等领域有广泛应用，时间复杂度为O(nlogn)。

在实际的环境中，大多数的线段要么根本不与其他线段相交，要么只与少数的线段相交，因此，交点的总数远远达不到平方量级。进行测试，以找出它们可能位于扫描线下方的交点，并添加为事件点（注意，该事件点可能已经被发现——例如，两条线段在此前的一段时间内曾经是紧邻的，后来变得不再紧邻，最终又再次变成是相互紧邻的）。在这条假象的直线扫过平面的过程中，跟踪记录所有与之相交的线段——以找出所需的所有线段对。不幸的是，这还不够——因为，在某些（特殊的）情况下，尽管实际的交点数目很少，却依然需要对平方量级的线段进行测试。

（这也是前一节设计凸包算法时所做的一项工作——尽管算法给出的多边形有可能并不凸，但是我们还是可以肯定，输出的多边形在结构上是正确的，而且它与凸包十分接近）。在几何算法的实现过程中，所遇到的种种麻烦，究其根源，往往可以归结为鲁棒性（robustness）的问题。然而在很多情况下，还有更好的办法——通过对问题的几何性质做再次的分析，往往可以将各种特例集成到一般情况当中。最后，还可以根据具体的输入，以数值的形式预测出，为了得到问题的正确结果，究竟需要达到多高的精度。一个几何算法的建立过程，往往要经过三个阶段。

平面的一个子集S被称为是"凸"的，当且仅当对于任意两点pq∈Sp,q\in Spq∈S线段pq都完全属于S。集合S的凸包Conv(S)，就是包含S的最小凸集。这里所要讨论的，是如何计算平面上由n个点组成的有限集合P的凸包。可以借助一个虚构式实验，来想像这种凸包的模样：将这里的点想像成钉在平面上的钉子；取来一根橡皮绳，将它撑开围住所有的钉子，然后松开手——啪的一声，橡皮绳将紧绷到钉子上，它的总长度也将达到最小。此时，由橡皮绳围住的区域就是P的凸包。