三角形与射线相交

一.神奇的公式

有平面三角形点v0，v1，v2。p为该平面上的点则有

其中u为三角形一边的比例，v为三角形另一边的比例，

v0 + (v1 - v0) * u + (v2 - v0) * v  =  p

根据方程解u v。之前有一个疑问，为什么一条公式可以解两个未知数？

其实这是两条方程，平面向量有x y两个方向，这就可以解。

方程的解有三类，有多解 无解 唯一解。

当三角形为一条线，p在线上，则有无数解，p在线外则无解 否则有唯一解。

如果p在三角形内则有解出来的u>=0 v>=0 (u+v)<=1

二.公式延伸

想到上面的计算，我想空间上也一样可以运用此公式

如果在三维空间上的三角形点v0，v1，v2，与射线R(R为单位向量)，O为射线起点有

t为射线到三角形交点的距离

v0 + (v1 - v0) * u + (v2 - v0) * v = R * t + O

(v0 - O) + (v1 - v0) * u + (v2 - v0) * v = R * t

简化名称  令 P = v0 - O

有 P + (v1 - v0) * u + (v2 - v0) * v = R * t

解方程，就可以得到 u v t 但在空间上 方程也未必一定有解

1判断是否存在v0 v1 v2是一条线的情况

是的话，情况变得复杂，这里不去细化

2.判断三角形是不是跟射线的方向平行

如果平行则无解 重叠则有无数解

三.解方程

P.x + M.x * u + N.x * v = R.x * t

P.y + M.y * u + N.y * v = R.y * t

P.z + M.z * u + N.z * v = R.z * t

①②消去t得到④<