周期长度和【KMP】

最新推荐文章于 2024-02-05 20:16:02 发布

ssl_fuyang

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分类专栏： DFS;BFS KMP 文章标签： 1024程序员节

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43010386/article/details/120940044

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KMP

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该博客探讨了如何求解字符串的所有前缀的最大周期长度之和问题，通过与KMP算法中的公共前缀后缀关联进行解题。作者提出，当一个子串的最长公共前缀后缀长度为j时，它有一个(i-j)长度的周期，并讨论了利用记忆化搜索或类似并查集的方法来优化解决方案，避免暴力求解导致的时间复杂度过高。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

>Link

ybtoj周期长度和

>Description

对于一个仅含小写字母的字符串 a，p 为 a 的前缀且 p≠a，那么我们称 p 为 a 的 proper 前缀。

规定字符串 Q（可以是空串）表示 a 的周期，当且仅当 Q 是 a 的 proper 前缀且 a 是 Q+Q 的前缀。

例如 ab 是 abab 的一个周期，因为 ab 是 abab 的 proper 前缀，且 abab 是 ab+ab 的前缀。

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和。

>解题思路

发现对周期是一段前缀再在后面复制一遍，然后子串还能匹配上周期
然后发现这和KMP的公共前缀后缀有点像

观察一下，如果一个长为 $i$ 的子串的最长公共前缀后缀（就是nxt指针）长度为 $j$ ，那他就有一个长为 $i - j$ 的周期
那我们要使得 $i - j$ 最大的话，就要使 $j$ 最小，但是每次暴力沿 $n x t$ 跑到0时间会爆掉，我们就记忆化搜索（我觉得这样叫好像比较合适我也不知道怎么叫）（或者叫类似并查集）一下， $nxt_i$ 存目前搜到的最小的属于前缀 $i$ 的公共前缀后缀

>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1000010
#define LL long long
using namespace std;

int n;
LL nxt[N], ans;
string s;

LL find (int x)
{
	if (!nxt[x]) return x;
	return nxt[x] = find (nxt[x]);
}

int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	cin >> s; s = " " + s;
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++)
	{
		while (j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
		if (s[j + 1] == s[i]) j++;
		nxt[i] = j;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	  if (nxt[i]) ans += i - find (i);
	printf ("%lld", ans);
	return 0;
}