8、布尔约束语言可满足性间隙与应用分析

布尔约束语言可满足性间隙与应用分析

1. 算子赋值与实例转换

在希尔伯特空间中，对于两个实例 (I) 和 (J)，存在这样的关系：若有关于 (I) 在希尔伯特空间 (H) 上的满足算子赋值 (f)，则存在关于 (J) 在 (H) 上的满足算子赋值 (g) 来扩展 (f)，并且 (g) 在 (J) 的每个块上是两两可交换的。

为了进一步探讨满足算子赋值的关系，我们对实例 (J) 进行修改，得到新实例 (\hat{J})。这里引入全二元布尔关系 (T = {±1}^2)，其指示多项式 (P_T(X_1, X_2)) 是常数函数 (-1)。当约束语言 (A) 可由 (B) 进行原始正定义（pp - definable）时，(\hat{J}) 是在扩展约束语言 (B \cup {T}) 上的实例。它的变量和约束与 (J) 类似，但增加了一些二元约束，即对于来自 (J) 同一块的四个不同变量 (X_i)、(X_j)、(Y_k) 和 (Y_{\ell})，添加形如 (((X_i, X_j), T))、(((X_i, Y_k), T)) 或 (((Y_k, Y_{\ell}), T)) 的约束。

在这个新构造中，满足赋值不仅可以从 (I) 提升到 (\hat{J})，还能从 (\hat{J}) 投影到 (I)，具体如下：
- 对于 (I) 在 (H) 上的每个满足算子赋值 (f)，存在 (\hat{J}) 在 (H) 上的满足算子赋值 (g) 来扩展 (f)。
- 对于 (\hat{J}) 在 (H) 上的每个满足算子赋值 (g)，(g) 对 (I) 的变量的限制 (f) 是 (I) 在 (H) 上的满足算子赋值。

2. 可满足性间隙

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