35、计算基础分析与图灵机启发的计算机科学成果

计算基础分析与图灵机启发的计算机科学成果

1. 计算的基础分析

在算法实现中，节点可能用整数表示，但算法通常不应检查节点的奇偶性或比较节点大小，因为这些是与图算法无关的实现细节。若算法利用节点的整数表示，其词汇表应反映相关的算术部分。

根据柯尔莫哥洛夫对顺序算法的非正式定义，任何一步的工作量是有界的。但如何衡量步骤复杂度或一步的工作量呢？抽象状态约束能提供帮助。

顺序时间约束表明，算法 A 的下一个状态 τA(X) 仅取决于当前状态 X。执行者无需记住任何历史，所有信息都反映在状态中。若执行者是人类并在草稿纸上记录，那么这张纸应是计算状态的一部分。

为了将给定状态 X 转变为 τA(X)，算法 A 会探索 X 的一部分，然后对 X 的谓词和操作的值进行必要更改。根据柯尔莫哥洛夫的定义，探索部分（“活动区域”）是有界的，从 X 到 τA(X) 的变化（记为 ΔA(X)）仅取决于探索结果。形式上，ΔA(X) 可定义为方程 F(¯a) = b 的集合，其中 b 是词汇函数 F 在点 ¯a 的新值。

算法如何知道探索什么和更改什么呢？这些信息通常由程序提供，且应适用于所有状态。根据抽象状态约束，应使用算法 A 的词汇表以符号形式给出。

有界探索：存在算法 A 词汇表中的有限项集 T，使得当 A 的状态 X 和 Y 在 T 上一致时，ΔA(X) = ΔA(Y)。

下面是相关概念的关系图：

graph LR
    A[顺序算法] --> B[顺序时间约束]
    A --> C[抽象状态约束]
    A --&g