22、对偶间隙估计与线性规划的惩罚方法

对偶间隙估计与线性规划的惩罚方法

1. 对偶间隙估计

在优化问题中，对偶间隙是衡量原问题和对偶问题解之间差异的重要指标。通过推论 1 并取 $\lambda = N - 1$，我们可以得到以下不等式：
[
E(G_N) - E^ < C(q, \gamma) \left( C(E, q, \gamma) + \sum_{k = 1}^{m} t_p^k \right)^{1 - q} - (1 - \mu)N^{1 - q} \left( \theta A^{-1} \epsilon \beta C(q, \gamma) A_q^0 - 2\gamma \right)
]
根据定理条件，$1 < q \leq 2$，$p = \frac{q}{q - 1}$ 且 $N > 2$，所以 $-1 \leq 1 - q < 0$。经过一系列推导和估计，我们可以将上述不等式进一步化简为：
[
E(G_N) - E^ < N^{1 - q} \left( C(q, \gamma) \mu^{1 - q} \theta^{-q} - (1 - \mu) \left( \theta A^{-1} \epsilon \beta C(q, \gamma) A_q^0 - 2\gamma \right) \right)
]
我们可以选择一个任意大的 $\beta$，使得 $\beta > \frac{2\gamma + C(q, \gamma) \mu^{1 - q} \theta^{-q}}{(1 - \mu) \theta A^{-1} \epsilon C(q, \gamma) A_q^0}$，从