18、量子行走算法与布尔 CSP 测试的研究进展

量子行走算法与布尔 CSP 测试的研究进展

1. 量子行走算法在 3 - 相异问题中的应用

1.1 符号定义与基本假设

首先，将输入空间划分为三个等大小的不相交集合 (A_1)、(A_2)、(A_3)。假设若存在 3 - 碰撞 ({i, j, k})，则 (i \in A_1)，(j \in A_2)，(k \in A_3)。此假设以常数概率成立，因此只需以独立的三分法选择重复算法 (O(1)) 次，就能以高概率找到任何 3 - 碰撞。

对于集合 (S_1 \subseteq A_1 \cup A_2)，定义 (P(S_1) := {(i, j) \in A_1 \times A_2 : i, j \in S_1, i \neq j, \chi_i = \chi_j}) 为 (S_1) 中的 2 - 碰撞集合；对于集合 (S_2 \subset A_1 \times A_2)，定义 (I(S_2) := \bigcup_{(i,j) \in S_2} {i, j}) 为 (S_2) 中对的索引集合。一般只考虑 (A_1 \times A_2) 中的 2 - 碰撞，忽略 (\chi) 中的其他 2 - 碰撞。对于任意集合对 (A)、(B)，定义 (P(A, B) := {(i, j) \in A \times B : i \neq j, \chi_i = \chi_j}) 为 (A) 和 (B) 之间的 2 - 碰撞集合，为方便起见，令 (P := P(A_1, A_2))，设 (n_2 := |P|)。对于集合 (S_2 \subseteq P)，用 (Q(S_2) := {(i, j, \chi_i) : (i, j) \in S_2}) 表示查询值的集合；对于集合 (S_