34、分数阶反应 - 扩散模型：高效求解方法解析

分数阶反应 - 扩散模型：高效求解方法解析

在生物学和数学领域，分数阶反应 - 扩散模型对于理解生物体内分子的扩散和反应过程至关重要。本文将深入探讨分数阶Schnakenberg模型，并介绍一种高效的求解方法——q - 同伦分析变换方法（q - HATM）。

1. 分数阶Schnakenberg模型简介

分数阶Schnakenberg模型是一种简单的分数阶反应 - 扩散系统，其表达式如下：
[
\begin{cases}
D_t^{\alpha} u = d_1\nabla^2 u + k(a - u + u^2 v) \
D_t^{\alpha} v = d_2\nabla^2 v + k(b - u^2 v)
\end{cases}
]
其中，$u$ 和 $v$ 分别表示激活剂和抑制剂的浓度，$k$、$a$ 和 $b$ 是生物过程的速率常数，$d_1$ 和 $d_2$ 是扩散系数。

2. 预备知识

在求解分数阶Schnakenberg模型之前，我们需要了解一些基本的分数阶算子和拉普拉斯变换的概念。
- 分数阶Riemann - Liouville积分 ：对于函数 $f(t) \in C^{\mu}(\mu \geq -1)$，其分数阶Riemann - Liouville积分定义为
[
J^{\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t - \vartheta)^{\alpha - 1} f(\vartheta) d\vartheta, \quad J^0 f