13、不变性分析、对称约化、守恒定律及分数阶模型求解方法

不变性分析、对称约化、守恒定律及分数阶模型求解方法

1. 巴克马斯特方程的不变性分析与守恒定律

1.1 巴克马斯特方程相关基础

在数学物理中，巴克马斯特（Buckmaster）方程是一个著名的二阶非线性模型。对于该方程，我们考虑其不变性分析。设(v(x, t))是依赖于(x)和(t)的非物理变量，方程（1）对应的伴随系统为：
(F^{*}=\frac{\delta L}{\delta u} = -3u^{2}v_{x} - p_{t} - 4u^{3}v_{xx} = 0)
所以巴克马斯特方程的伴随方程为(3u^{2}v_{x} - v_{t} - 4u^{3}v_{xx})。

1.2 不同向量场下的特征函数与守恒通量

我们有三个向量场(V_1)、(V_2)和(V_3)，下面分别分析它们对应的特征函数和守恒通量：
- 向量场(V_1 = x\frac{\partial}{\partial x} - t\frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial u}) ：
- 特征函数(W = u - xu_{x} + tu_{t})。
- 利用公式：
(T^{t} = \tau L + W\left(\frac{\partial L}{\partial u_{t}} - D_{t}\frac{\partial L}{\partial u_{tt}} - D_{x}\frac{\partial L}{\partial u_{tx}}\right) + D_{t}W\frac{\partial L}{\par