14、分布式自适应控制：多智能体系统与非完整移动机器人

分布式自适应控制：多智能体系统与非完整移动机器人

1. 不确定多智能体系统的分布式自适应一致性控制

1.1 避免芝诺行为

在特定条件下，每个智能体的芝诺行为可以避免。具体来说，在与定理 9.1 相同的条件以及触发条件 (9.6) 下，事件间时间间隔有一个正的下界 ςi，即 τ i
ki = ti
ki+1 − ti
ki ≥ ςi，其中 i ∈ V，∀ki ∈ Z+。

证明过程如下：
定义一组测量误差为 eyi(t) = yi(t) − yi(ti
ki)，i ∈ V，∀ki ∈ Z+。假设触发条件 (9.6) 在时刻 ti
ki 触发，且 eyi(ti
ki) = 0。在时间区间 [ti
ki, ti
ki+1) 内，eyi 的导数为 ˙eyi = ˙yi = bi,mivimi,2 + ξi,2 + ¯ωT
i θi + i,2。对该式两边积分可得 eyi(t) = ∫t
ti
ki bi,mivimi,2(τ) + ξi,2(τ) + ¯ωi(τ)T θi + i,2(τ)dτ。由于定理 9.1 已确保所有闭环信号有界，存在一个正常数 ¯eyi 使得 eyi(t) ≤ ¯eyi(t − ti
ki)。根据 (9.6)，下一个事件在 eyi(t) = πi,1 之前不会触发。因此，事件间时间间隔的下界为 τ i
ki ≥ πi,1
¯eyi ≜ ςi，i ∈ V，∀ki ∈ Z+。

1.2 扩展到非线性系统

线性系统 (9.1) 可视为严格反馈非线性系统采用输出反馈形式的特殊情况。要将当前结果扩展到后者非线性系统，在具有事件触发通信的分布式自适应控制器的递归设计中，仍会存在不可微性问题。为解决此问题，可在每个智能体中引入形式类似于 (9.24) 的辅助系统，其中 ρi ≥ 2。然后，每个智能体的前 (ρi - 1) 步虚拟控制输入可仅使用局部信号进行设计，如 (9.27)–(9.31) 和 (9.35) 所示。(9.11) 中定义的离散时间一致性误差 ¯ζi 仅需参与第 ρi 步设计。此外，需要重新设计局部滤波器以生成状态估计。

1.3 仿真结果

考虑一组 4 个单连杆机械臂，其形式为：
Ji ¨ϑi + Bi ˙ϑi + Ni sin(ϑi) = τi ，i = 1, 2, 3, 4。
其中 ϑi 表示连杆的角度，τi 表示广义力，是机械臂 1 和 3 的控制输入。Ji = 1kg/m² 是机械惯性，Bi = 0.1Nms/rad 是关节处的粘性摩擦系数，Ni = 5N·m 是与负载质量和重力系数相关的正常数。对于机械臂 2 和 4，还考虑了如下建模的电机动力学：
Yi ˙τi + Riτi = ui − Ki ˙ϑi ，i = 2, 4。
其中 Yi = 1H，Ri = 1Ω，Ki = 0.3Nm/A 分别是电枢电感、电枢电阻和反电动势系数，ui 是施加到电机的电压，是机械臂 2 和 4 的控制输入。因此，这组机械臂由两个相对阶为 2 的二阶系统和两个相对阶为 3 的三阶系统组成。

定义 xi,1 = ϑi，xi,2 = ˙ϑi，xi,3 = τi。将机械臂 i 在原点处线性化，可得：
对于 i = 1, 3：
[
\begin{bmatrix}
\dot{x} {i,1}\
\dot{x} {i,2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1\
-\frac{N_i}{J_i} & -\frac{B_i}{J_i}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{i,1}\
x_{i,2}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\
\frac{1}{J_i}
\end{bmatrix}
\tau_i
]
对于 i = 2, 4：
[
\begin{bmatrix}
\dot{x} {i,1}\
\dot{x} {i,2}\
\dot{x} {i,3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\
-\frac{N_i}{J_i} & -\frac{B_i}{J_i} & \frac{1}{J_i}\
0 & -\frac{K_i}{Y_i} & -\frac{R_i}{Y_i}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x {i,1}\
x_{i,2}\
x_{i,3}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\
0\
\frac{1}{Y_i}
\end{bmatrix}
u_i
]

经过类似操作，系统 (9.44) 和 (9.45) 可转换为系统 (9.1) 的形式。对于机械臂 1 和 3，系统参数为 bi,0 = 1
Ji ，φi,1 = Bi
Ji ，φi,0 = Ni
Ji ；对于机械臂 2 和 4，系统参数为 bi,0 = 1
JiYi ，φi,2 = Bi
Ji + Ri
Yi ，φi,1 = Ni
Ji + Ki
JiYi + BiRi
JiYi ，φi,0 = NiRi
JiYi 。可以验证，得到的线性系统满足假设 9.1.3。

期望轨迹为 yr(t) = 0.5 sin(0.1t) + 0.5 sin(0.05t)。4 个机械臂之间的图中，只有机械臂 1 可以访问期望轨迹 yr(t)。

在仿真中，除 x1,1(0) = 0.8，x2,1(0) = 0.7，x3,1(0) = 0.5，x4,1(0) = 0.6，s1,1(0) = 0.8，s2,1(0) = s2,2(0) = 0.1，s3,1(0) = -0.2，s4,1(0) = s4,2(0) = -0.2 外，所有初始状态都设为零。设计参数选择如下：
πi,1 = 0.02，πi,2 = 0.2，Mi = 0.2，ki,1 = 1，ki,2 = 2，k2,3 = k4,3 = 1，
τi,0 = 1，k = 1，di,1 = di,2 = di,3 = 0.1，ci,1 = ci,2 = 1，ci,3 = 5，εi = 0.06，
γi = γPi = γDi = 1，γyi = 5，κi = κPi = κDi = κyi = κθi = 0.005，
i,0 = Pi,0 = Di,0 = yi,0 = 0.005。Γi 和 θi,0 分别选择为具有适当维度的单位矩阵和零矩阵。

仿真结果表明，每个智能体的输出可以跟踪期望轨迹 yr(t)，且跟踪误差有界。所有观测信号有界，每个智能体的芝诺行为被排除。

2. 非完整移动机器人的分布式自适应编队控制

2.1 问题描述

2.1.1 系统模型

考虑一组 N 个两轮移动机器人，每个机器人的动态模型为：
˙ηi = J(ηi)ωi
Mi ˙ωi + Ci( ˙ηi)ωi + Diωi = τi ，i = 1, …, N
其中 ηi = [¯xi, ¯yi, ¯φi]T 表示第 i 个机器人的位置和方向，ωi = [ωi1, ωi2]T 表示左右轮的角速度，τi = [τi1, τi2]T 表示施加到轮子的控制扭矩。Mi 是对称正定惯性矩阵，Ci( ˙ηi) 是向心和科里奥利矩阵，Di 表示表面摩擦。这些矩阵的形式如下：
J(ηi) = ri
2
[
\begin{bmatrix}
\cos \bar{\varphi} i & \cos \bar{\varphi}_i\
\sin \bar{\varphi}_i & \sin \bar{\varphi}_i\
b^{-1}_i & -b^{-1}_i
\end{bmatrix}
]
Mi =
[
\begin{bmatrix}
m {i1} & m_{i2}\
m_{i2} & m_{i1}
\end{bmatrix}
]
Ci( ˙ηi) =
[
\begin{bmatrix}
0 & c_i \dot{\bar{\varphi}} i\
-c_i \dot{\bar{\varphi}}_i & 0
\end{bmatrix}
]
Di =
[
\begin{bmatrix}
d {i1} & 0\
0 & d_{i2}
\end{bmatrix}
]
mi1 = 1
4b−2
i r2
i (mib2
i + Ii) + Iwi
mi2 = 1
4b−2
i r2
i (mib2
i − Ii)
Ii = mciι2
i + 2mwib2
i + Ici + 2Imi
ci = 1
2b−1
i r2
i mciιi，mi = mci + 2mwi。

其中 mci, mwi, Ici, Iwi, Imi, 和 dik 是未知系统参数。

由于输入数量（即 ωi1 和 ωi2）小于配置变量数量（即 ¯xi, ¯yi, 和 ¯φi），该移动机器人是欠驱动机械系统。为分别实现 ¯xi, ¯yi, 和 ¯φi 的跟踪目标，将采用横向函数方法，引入一个辅助操纵变量将欠驱动问题转化为全驱动问题。

2.1.2 坐标变换

第 i 个机器人的原始坐标变换如下：
[
\begin{bmatrix}
x_i\
y_i
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\bar{x} i\
\bar{y}_i
\end{bmatrix}
+ R(\varphi_i)
\begin{bmatrix}
f {1i}(\xi_i)\
f_{2i}(\xi_i)
\end{bmatrix}
]
φi = ¯φi − f3i(ξi)
其中
R(φi) =
[
\begin{bmatrix}
\cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i)\
\sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i)
\end{bmatrix}
]
fli(ξi) （l = 1, 2, 3）是关于 ξi 的函数，设计为：
f1i(ξi) = ε1i sin(ξi)sin(f3i)
f3i
f2i(ξi) = ε1i sin(ξi)1 − cos(f3i)
f3i
f3i(ξi) = ε2i cos(ξi)
其中 ε1i 和 ε2i 是正常数，且 0 < ε2i < π
2 。这些函数具有以下性质：
|f1i| < ε1i，|f2i| < ε1i，|f3i| < ε2i。

对 xi, yi, 和 φi 求导可得：
[
\begin{bmatrix}
\dot{x} i\
\dot{y}_i
\end{bmatrix}
= Q_i
\begin{bmatrix}
r_iu {i1}\
\dot{\xi} i
\end{bmatrix}
+ \frac{\partial R(\varphi_i)}{\partial \varphi_i}
\begin{bmatrix}
f {1i}(\xi_i)\
f_{2i}(\xi_i)
\end{bmatrix}
\times
\left(
r_ib^{-1} i u {i2} - \frac{\partial f_{3i}(\xi_i)}{\partial \xi_i} \dot{\xi} i
\right)
]
˙φi = r_ib^{-1}_i u {i2} - \frac{\partial f_{3i}(\xi_i)}{\partial \xi_i} \dot{\xi}_i
其中 ui1 = 0.5(ωi1 + ωi2)，ui2 = 0.5(ωi1 - ωi2)，Qi 是可逆矩阵。与 (¯xi, ¯yi, ¯φi) 不同，变换后的坐标 (xi, yi, 和 φi) 可以通过调整 ui1, ui2, 和 ˙ξi 分别进行控制，˙ξi 被视为辅助操纵变量。

2.1.3 编队控制目标

期望轨迹在 X 和 Y 方向的分量分别表示为：
xr(t) = wrfrx(t) + crx
yr(t) = wrfry(t) + cry
假设 frx(t) 和 fry(t) 所有机器人都已知，而参数 wr, crx, 和 cry 只有部分机器人可以获取。此外，φr(t) ≜ arctan( ˙yr
˙xr ) 表示每个机器人方向的参考轨迹。

控制目标是设计分布式自适应编队控制器，使所有机器人在 X - Y 平面上跟随期望轨迹，并与期望轨迹保持一定的规定距离，即：
lim
t→∞[xi(t) - xr(t)] = -ρix
lim
t→∞[yi(t) - yr(t)] = -ρiy
lim
t→∞[φi(t) - φr(t)] = 0

为实现编队控制目标，还需要以下假设：
- 假设 10.1.1：frx, fry, ˙frx, ˙fry 和 ¨frx, ¨fry 有界、分段连续有界且所有机器人都已知。
- 假设 10.1.2：参数 ri 和 bi 落在已知的紧集内，即存在已知正常数 ¯ri, ri, ¯bi, 和 bi 使得 ri < ri < ¯ri 和 bi < bi < ¯bi。
- 假设 10.1.3：机器人 i 的规定距离 ρix 和 ρiy 其邻居是已知的。

需要注意的是，第三章中提到的一致性跟踪目标是编队目标的特殊情况。新的多输入多输出 (MIMO) 运动学模型借助横向函数技术可视为三个独立的单输入单输出 (SISO) 系统。整个系统在动态模型层面的相对阶为 2，这表明第三章中为一维输出一致性跟踪问题提出的基于反步法的自适应控制方案可扩展用于解决本章的编队控制问题。此外，变换误差 xi - ¯xi, yi - ¯yi, φi - ¯φi 由 ε1i 和 ε2i 界定，设计的分布式自适应控制器可保证编队控制误差收敛。

2.2 分布式自适应编队控制器设计

采用反步法，控制设计过程分为两步。

2.2.1 第一步：选择虚拟控制

定义局部误差变量：
zix,1 = ∑N
j = 1 aij(xi + ρix - xj - ρjx) + μi(xi + ρix - xr)
ziy,1 = ∑N
j = 1 aij(yi + ρiy - yj - ρjy) + μi(yi + ρiy - yr)
eix,1 = xi - μixr - (1 - μi) (frx ˆwrx,i - ˆcrx,i) + ρix
eiy,1 = yi - μiyr - (1 - μi) (fry ˆwry,i - ˆcry,i) + ρiy
δiφ = φi - φr
eix,2 = ui1 - αi1，eiφ,2 = ui2 - αi2

选择虚拟控制 (αi1, αi2) 和辅助操纵变量 ˙ξ 为：
[
\begin{bmatrix}
\alpha_{i1}\
\dot{\xi} i
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\hat{\theta}^{-1} {i1} & 0\
0 & 1
\end{bmatrix}
Q^{-1} i \Omega_i
]
αi2 = ˆθ−1
i2
[
\begin{bmatrix}
-k_2\delta {i\varphi} + \frac{\partial f_{3i}(\xi_i)}{\partial \xi_i} \dot{\xi} i + \dot{\varphi}_r
\end{bmatrix}
]
其中 ˆθi1 和 ˆθi2 分别是 ri 和 rib−1
i 的估计值。
Ωi = -k1Pi
[
\begin{bmatrix}
z {ix,1}\
z_{iy,1}
\end{bmatrix}
- \frac{\partial R(\varphi_i)}{\partial \varphi_i}
\begin{bmatrix}
f_{1i}(\xi_i)\
f_{2i}(\xi_i)
\end{bmatrix}
\left(
-k_2\delta_{i\varphi} + \dot{\varphi} r
\right)
-
\begin{bmatrix}
\dot{\rho} {ix}\
\dot{\rho} {iy}
\end{bmatrix}
+ \mu_i
\begin{bmatrix}
\dot{f} {rx}w_{rx}\
\dot{f} {ry}w {ry}
\end{bmatrix}
+ (1 - \mu_i)
\begin{bmatrix}
\dot{f} {rx} \hat{w} {rx,i} + f_{rx} \dot{\hat{w}} {rx,i} + \dot{\hat{c}} {rx,i}\
\dot{f} {ry} \hat{w} {ry,i} + f_{ry} \dot{\hat{w}} {ry,i} + \dot{\hat{c}} {ry,i}
\end{bmatrix}
]

得到如下结果：
[
\begin{bmatrix}
\dot{e} {ix,1}\
\dot{e} {iy,1}
\end{bmatrix}
= -k_1P_i
\begin{bmatrix}
z_{ix,1}\
z_{iy,1}
\end{bmatrix}
+ \frac{\partial R(\varphi_i)}{\partial \varphi_i}
\begin{bmatrix}
f_{1i}(\xi_i)\
f_{2i}(\xi_i)
\end{bmatrix}
\left(
\tilde{\theta} {i2}u {i2}
+ \hat{\theta} {i2}e {i\varphi,2}
\right)
+ Q_i
\begin{bmatrix}
\tilde{\theta} {i1}u {i1} + \hat{\theta} {i1}e {ix,2}\
0
\end{bmatrix}
]
˙δiφ = -k2δiφ + ˜θi2ui2 + ˆθi2eiφ,2

参数估计器设计为：
˙ˆwrx,i = -γrifrxeix,1
˙ˆwry,i = -γrifryeiy,1
˙ˆcrx,i = -γrieix,1
˙ˆcry,i = -γrieiy,1
˙ˆθi1 = Proj(ˆθi1, γθi1πi1ui1)
˙ˆθi2 = Proj(ˆθi2, γθi1πi2ui2)
其中
πi1 = eix,1 cos(¯φi) + eiy,1 sin(¯φi)
πi2 = [eix,1, eiy,1]∂R(φi)
∂φi
[
\begin{bmatrix}
f_{1i}(\xi_i)\
f_{2i}(\xi_i)
\end{bmatrix}
+ \delta_{i\varphi}
]

选择 Lyapunov 函数候选为：
V1 = 1
2 ∑N
i = 1
[
\begin{bmatrix}
e^2_{ix,1} + e^2_{iy,1} + \delta^2_{i\varphi} + \frac{1}{\gamma_{\theta_{i1}}} \tilde{\theta}^2_{i1} + \frac{1}{\gamma_{\theta_{i2}}} \tilde{\theta}^2_{i2}
\end{bmatrix}
+ \frac{k_1}{2} ∑N
i = 1 (1 - μi) Pi
γri
[
\begin{bmatrix}
\tilde{w}^2_{rx,i} + \tilde{w}^2_{ry,i} + \tilde{c}^2_{rx,i} + \tilde{c}^2_{ry,i}
\end{bmatrix}
]

其导数为：
˙V1 ≤ -k1
2
[
\begin{bmatrix}
\delta^T_x Q\delta_x + \delta^T_y Q\delta_y
\end{bmatrix}
- k_2\delta^T_{i\varphi}\delta_{i\varphi}
+ ∑N
i = 1
[
\begin{bmatrix}
\pi_{i1}\hat{\theta} {i1}e {ix,2} + \pi_{i2}\hat{\theta} {i2}e {i\varphi,2}
\end{bmatrix}
]

2.2.2 第二步：推导实际控制输入

定义 ωi1d = αi1 + αi2，ωi2d = αi1 - αi2，zi,1 = ωi1 - ωi1d，zi,2 = ωi2 - ωi2d。由 (10.16) 可知 eix,2 = 0.5(zi,1 + zi,2)，eiφ,2 = 0.5(zi,1 - zi,2)。令 zi = [zi,1, zi,2]T，则 zi = ωi -
[
\begin{bmatrix}
\omega_{i1d}\
\omega_{i2d}
\end{bmatrix}
]

将 (10.25) 两边求导并乘以 Mi，结合 (10.17) 和 (10.18) 可得：
Mi ˙zi = -Dizi + ΦT
i Θi + τi
其中矩阵 Φi 和 Θi 定义为：
Φi = [χi, χi,j1, χi,j2, …, χi,jni ]T
Θi = [ϑT
i , ϑT
i,j1, ϑT
i,j2, …, ϑT
i,jni ]T
jp （p = 1, …, ni）是机器人 i 的邻居机器人的索引，Φi 和 Θi 中的元素在 (10.31) 中给出。

引入未知参数向量 Θi 的估计值 ˆΘi，局部控制扭矩和自适应律设计为：
τi = -Kizi - ΦT
i ˆΘi - 0.5Ξi
˙ˆΘi = ΓiΦizi

其中 Ξi = [Ξi,1, Ξi,2]T，Ξi,1 = πi1ˆθi1 + πi2ˆθi2，Ξi,2 = πi1ˆθi1 - πi2ˆθi2。

选择整个系统的 Lyapunov 函数为：
V2 = V1 + 1
2
[
\begin{bmatrix}
z^T_i M_i z_i + \tilde{\Theta}^T_i \Gamma^{-1} i \tilde{\Theta}_i
\end{bmatrix}
]
其导数为：
˙V2(t) ≤ -k1
2
[
\begin{bmatrix}
\delta^T_x Q\delta_x + \delta^T_y Q\delta_y
\end{bmatrix}
- k_2\delta^T {i\varphi}\delta_{i\varphi}
- z^T_i (K_i + D_i)z_i

2.3 稳定性和一致性分析

主要结果由以下定理给出：

定理 10.1：考虑由 N 个非完整移动机器人 (10.1)–(10.2)、控制扭矩 (10.29) 和参数估计器组成的闭环自适应系统，在一定条件下，系统是稳定的，且所有机器人能够实现编队控制目标。

综上所述，本文介绍了不确定多智能体系统的分布式自适应一致性控制以及非完整移动机器人的分布式自适应编队控制。通过理论分析和仿真验证，证明了所提出的控制方案的有效性。在实际应用中，可以根据具体需求调整设计参数，以实现更好的控制性能。未来的研究可以进一步考虑更复杂的系统模型和通信拓扑，以及如何提高控制方案的鲁棒性和适应性。

2.3 稳定性和一致性分析（续）

为了更好地理解定理 10.1 的意义，下面对其进行详细解读。

首先，系统的稳定性是通过 Lyapunov 函数来证明的。在第一步设计中，我们选择了 Lyapunov 函数候选 $V_1$，并推导出其导数 $\dot{V}_1$ 的表达式。在第二步设计中，我们进一步得到了整个系统的 Lyapunov 函数 $V_2$ 及其导数 $\dot{V}_2$。通过分析 $\dot{V}_2$ 的性质，我们可以判断系统的稳定性。

从 $\dot{V} 2(t) \leq -\frac{k_1}{2}(\delta_x^T Q\delta_x + \delta_y^T Q\delta_y) - k_2\delta {i\varphi}^T\delta_{i\varphi} - z_i^T (K_i + D_i)z_i$ 可以看出，右边的各项都是非正的。这意味着随着时间的推移，$V_2$ 是单调递减的。根据 Lyapunov 稳定性理论，如果一个系统的 Lyapunov 函数是单调递减的，那么系统是稳定的。

其次，所有机器人能够实现编队控制目标，即满足 $\lim_{t \to \infty}[x_i(t) - x_r(t)] = -\rho_{ix}$，$\lim_{t \to \infty}[y_i(t) - y_r(t)] = -\rho_{iy}$，$\lim_{t \to \infty}[\varphi_i(t) - \varphi_r(t)] = 0$。这是因为在设计控制器时，我们通过引入虚拟控制和实际控制输入，使得系统的误差逐渐减小。

例如，在第一步设计中，我们通过选择合适的虚拟控制 $(\alpha_{i1}, \alpha_{i2})$ 和辅助操纵变量 $\dot{\xi} i$，使得局部误差变量 $e {ix,1}$，$e_{iy,1}$ 和 $\delta_{i\varphi}$ 逐渐减小。在第二步设计中，我们通过推导实际控制扭矩 $\tau_i$，进一步减小系统的误差。

2.4 总结与展望

2.4.1 主要成果总结

• 多智能体系统 ：提出了一种分布式自适应控制方案，用于解决具有未知系统参数、事件触发通信和有向图的异构线性多智能体系统的输出共识跟踪问题。证明了在该控制方案下，所有闭环信号是一致有界的，并且每个智能体的芝诺行为可以避免。通过仿真验证了该方案的有效性。
• 非完整移动机器人 ：将分布式自适应跟踪控制策略应用于多个具有未知参数的非完整移动机器人的编队控制问题。通过引入横向函数方法，解决了运动学层面的欠驱动问题。设计了分布式自适应编队控制器，并证明了通过适当调整设计参数，系统的编队误差可以任意小。

2.4.2 未来研究方向

• 更复杂的系统模型 ：目前的研究主要集中在具有一定假设条件的系统模型上。未来可以考虑更复杂的系统模型，例如具有时变参数、非线性动力学和外部干扰的系统。
• 通信拓扑的影响 ：通信拓扑对分布式控制方案的性能有重要影响。未来可以研究不同通信拓扑下的分布式控制策略，以及如何优化通信拓扑以提高控制性能。
• 鲁棒性和适应性 ：在实际应用中，系统可能会受到各种不确定性和干扰的影响。因此，提高控制方案的鲁棒性和适应性是未来研究的重要方向。可以考虑采用鲁棒控制理论和自适应控制方法，以增强系统对不确定性和干扰的抵抗能力。

3. 技术点分析

3.1 分布式自适应控制的优势

分布式自适应控制具有以下几个显著优势：
- 减少通信负担 ：通过事件触发通信机制，智能体只在必要时进行通信，从而减少了通信量和通信成本。
- 提高系统的灵活性 ：每个智能体可以根据自身的状态和邻居的信息进行自适应调整，从而提高了系统的灵活性和适应性。
- 增强系统的鲁棒性 ：分布式控制方案可以在部分智能体失效或通信中断的情况下，仍然保持系统的稳定性和性能。

3.2 横向函数方法的作用

在非完整移动机器人的编队控制中，横向函数方法起到了关键作用。它的主要作用包括：
- 解决欠驱动问题 ：通过引入辅助操纵变量，将欠驱动的运动学模型转化为全驱动的模型，从而可以采用传统的控制方法进行设计。
- 实现独立控制 ：使得变换后的坐标 $(x_i, y_i, \varphi_i)$ 可以分别进行控制，从而简化了控制器的设计。

3.3 反步法的应用

反步法是一种常用的控制设计方法，在本文中被用于设计分布式自适应编队控制器。它的主要步骤包括：
1. 选择虚拟控制 ：在第一步设计中，选择合适的虚拟控制 $(\alpha_{i1}, \alpha_{i2})$ 和辅助操纵变量 $\dot{\xi}_i$，使得局部误差变量逐渐减小。
2. 推导实际控制输入 ：在第二步设计中，根据虚拟控制和系统的动力学模型，推导实际控制输入 $\tau_i$。

通过反步法，我们可以逐步设计出满足系统性能要求的控制器。

4. 操作步骤总结

4.1 不确定多智能体系统控制操作步骤

1. 系统建模 ：将实际系统建模为线性系统 (9.1) 的形式，并验证其是否满足假设 9.1.3。
2. 设计触发条件 ：根据系统的特点，设计合适的触发条件 (9.6)，以避免芝诺行为。
3. 选择设计参数 ：根据仿真要求，选择合适的设计参数，如 $\pi_{i,1}$，$\pi_{i,2}$，$M_i$ 等。
4. 进行仿真验证 ：设置初始状态和期望轨迹，运行仿真程序，验证控制方案的有效性。

4.2 非完整移动机器人编队控制操作步骤

1. 系统建模 ：将移动机器人的动力学模型表示为 (10.1) 和 (10.2) 的形式，并确定相关矩阵的表达式。
2. 坐标变换 ：进行坐标变换，将原始坐标 $( \bar{x}_i, \bar{y}_i, \bar{\varphi}_i)$ 转换为 $(x_i, y_i, \varphi_i)$，并计算变换后的导数。
3. 设计控制器 ：采用反步法，分两步设计分布式自适应编队控制器。
   • 第一步 ：选择虚拟控制 $(\alpha_{i1}, \alpha_{i2})$ 和辅助操纵变量 $\dot{\xi}_i$，并设计参数估计器。
   • 第二步 ：推导实际控制输入 $\tau_i$，并设计自适应律。
4. 稳定性分析 ：选择合适的 Lyapunov 函数，分析系统的稳定性和一致性。
5. 调整参数 ：根据系统的性能要求，适当调整设计参数，以实现更好的编队控制效果。

5. 流程图展示

graph TD
    A[不确定多智能体系统控制] --> B[系统建模]
    B --> C[设计触发条件]
    C --> D[选择设计参数]
    D --> E[进行仿真验证]

    F[非完整移动机器人编队控制] --> G[系统建模]
    G --> H[坐标变换]
    H --> I[设计控制器]
    I --> J[第一步：选择虚拟控制和参数估计器]
    I --> K[第二步：推导实际控制输入和自适应律]
    J --> L[稳定性分析]
    K --> L
    L --> M[调整参数]

6. 表格总结

控制类型	系统模型	控制方法	主要成果
不确定多智能体系统	异构线性系统	分布式自适应控制	闭环信号一致有界，避免芝诺行为，实现输出共识跟踪
非完整移动机器人	两轮移动机器人	分布式自适应编队控制	解决欠驱动问题，编队误差可任意小

通过以上的分析和总结，我们可以更深入地理解分布式自适应控制在多智能体系统和非完整移动机器人中的应用。这些方法和技术为解决实际工程中的控制问题提供了有效的途径，并且具有广阔的应用前景。在未来的研究中，我们可以进一步探索和优化这些方法，以适应更复杂的系统和应用场景。