23、小空间下稀疏后缀树的构建

小空间下稀疏后缀树的构建

在处理字符串相关问题时，稀疏后缀树是一种非常有用的数据结构。本文将深入探讨如何在小空间内构建稀疏后缀树，介绍相关算法及其复杂度分析。

1. 批量LCP查询的随机算法

首先，我们有一个关于批量最长公共前缀（LCP）查询的随机蒙特卡罗算法。对于长度为 $n$ 的字符串的后缀，该算法能以高概率正确回答一批 $q$ 个LCP查询。

• 算法复杂度 ：该算法在最坏情况下使用 $O((n + q) \log q)$ 时间和 $O(q)$ 空间。
• 原理说明 ：在每一轮计算中，使用的空间主要是成对的集合和哈希表，它们都只需要 $O(q)$ 个单词的空间。通过一些数学推导和引理证明，我们可以得到这个算法的复杂度。例如，若 $i_k = i_{k - 1} + 2^{\log n - k}$，且指纹不产生误报，那么 $LCP(i_{k - 1}, j_{k - 1}) \geq 2^{\log n - k}$。

2. 构建稀疏后缀树

接下来，我们描述一个蒙特卡罗算法，用于在 $O(n \log^2 b)$ 时间和 $O(b)$ 空间内构建任意 $b$ 个后缀的稀疏后缀树。
- 主要思路 ：使用批量LCP查询对 $b$ 个后缀进行排序。因为一旦知道两个后缀的LCP，通过检查它们第一个不同的字符，就可以在常数时间内确定它们的字典序大小。
- 具体步骤 ：
1. 分组LCP查询