15、非完整移动机器人与多航天器的分布式控制策略

非完整移动机器人与多航天器的分布式控制策略

1. 非完整移动机器人分布式自适应编队控制

1.1 编队误差分析

在非完整移动机器人的研究中，编队误差是衡量控制效果的重要指标。在特定假设条件下，对于每个机器人的编队误差有如下结论：
- $\lim_{t \to \infty} \overline{x} i(t) + \rho {ix} - x_r(t) \leq \sqrt{2\varepsilon_{i1}}$
- $\lim_{t \to \infty} \overline{y} i(t) + \rho {iy} - y_r(t) \leq \sqrt{2\varepsilon_{i1}}$
- $\lim_{t \to \infty} \overline{\varphi} i(t) - \varphi_r(t) \leq \varepsilon {i2}$

这是通过对相关估计器的分析得出的。从证明过程来看，$\delta_{ix}$、$\delta_{iy}$ 和 $\delta_{i\varphi}$ 会渐近收敛到零，这意味着 $\lim_{t \to \infty}[x_i(t) - x_r(t)] = -\rho_{ix}$，$\lim_{t \to \infty}[y_i(t) - y_r(t)] = -\rho_{iy}$ 以及 $\lim_{t \to \infty}[\varphi_i(t) - \varphi_r(t)] = 0$。再结合一些已知条件，通过不等式的推导，最终得到上述编队误差的结论。并且，通过适当调整 $\varepsilon_{i1}$ 和 $\varepsilon_{i2}$，可以使整个系统的编队误差尽可能小。

1.2 仿真结果

为了验证控制器的有效性，使用四个移动机器人进行仿真。参考轨迹为 $x_r(t) = t$，$y_r(t) = 10\sin(0.1t)$。各机器人对应的期望距离分别为：
| 机器人编号 | $\rho_{ix}$ | $\rho_{iy}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 3 | 0 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 6 | 0 |
| 4 | 6 | 3 |

仿真中机器人的参数如下：$b_i = 0.75$，$d_i = 0.3$，$r_i = 0.25$，$m_{ci} = 10$，$m_{wi} = 1$，$I_{ci} = 5.6$，$I_{wi} = 0.005$，$I_{mi} = 0.0025$，$d_{i1} = d_{i2} = 5$。控制参数选择为：$\varepsilon_{i1} = 0.1$，$\varepsilon_{i2} = 0.1$，$k_1 = 2$，$k_2 = 2$，$\gamma_{\theta i1} = \gamma_{\theta i2} = 5$，$\gamma_{ri} = 4$，$K_i = 2I$，$\Gamma_i = 4I$，投影参数 $\epsilon = 0.1$。$\theta_{i1}$ 和 $\theta_{i2}$ 分别假设在 $[0.15, 0.4]$ 和 $[0.1, 0.3]$ 范围内。初始值选择为：$\hat{\theta} {i1}(0) = 0.16$，$\hat{\theta} {i2}(0) = 0.12$，$\hat{\vartheta} i(0) = [0.05, 3, 3, 0.1, 0, 0.1, 0.01, 0.1, 0.01]^T$，$\hat{w} {rx,i}(0) = 0.8$，$\hat{c} {rx} = 0.5$，$\hat{w} {ry,i}(0) = 1.2$，$\hat{c}_{ry}(0) = 0.5$。

仿真结果展示了四个机器人的位置以及它们各自的方向跟踪误差，这些结果与理论结论一致，验证了控制器的有效性。以下是仿真的流程：

graph LR
    A[确定参考轨迹] --> B[设定各机器人期望距离]
    B --> C[选择机器人参数]
    C --> D[确定控制参数]
    D --> E[设定初始值]
    E --> F[进行仿真]
    F --> G[分析仿真结果]

2. 多航天器分布式事件触发自适应姿态同步

2.1 问题描述

航天器编队飞行在过去几十年中受到了广泛关注，其应用包括干涉测量、地球监测和恒星观测等。姿态同步是该领域的一个基本研究问题，目标是使一组航天器达到共同的姿态。在有向图条件下，研究多个具有未知惯性矩阵和事件触发通信的刚性航天器的分布式自适应姿态同步问题。采用修正罗德里格斯参数（MRPs）来表示航天器的姿态。

2.2 航天器姿态动力学

对于第 $i$ 个航天器，其姿态运动学和动力学模型如下：
- 姿态运动学：$\dot{\sigma}_i = F(\sigma_i)\omega_i$
- 姿态动力学：$J_i \dot{\omega}_i = -\omega_i^{\times} J_i\omega_i + \tau_i$

其中，$\sigma_i = a_i \tan(\frac{\varphi_i}{4}) \in \mathbb{R}^3$ 是第 $i$ 个航天器的 MRPs，$a_i$ 和 $\varphi_i$ 分别表示欧拉轴和欧拉角。$\omega_i \in \mathbb{R}^3$ 是第 $i$ 个航天器相对于惯性系的角速度，$J_i \in \mathbb{R}^{3\times3}$ 是未知的惯性矩阵，$\tau_i$ 是控制扭矩。$F(\sigma_i) = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \sigma_i^T \sigma_i}{2} I_3 + \sigma_i^{\times} + \sigma_i\sigma_i^T \right)$，$x^{\times}$ 是向量 $x = [x_1, x_2, x_3]^T$ 的叉积算子。

系统还具有以下基本性质：
- 性质 11.1 ：$H_i(\sigma_i)$ 是对称正定矩阵，满足 $J_{i1} |x|^2 \leq x^T H_i(\sigma_i) x \leq J_{i2}(|\sigma_i|) |x|^2$，其中 $J_{i1}$ 是正常数，$J_{i2}(|\sigma_i|)$ 是正的非递减函数。
- 性质 11.2 ：$\dot{H}_i(\sigma_i) - 2C_i(\sigma_i, \dot{\sigma}_i)$ 是斜对称矩阵，满足 $x^T [\dot{H}_i(\sigma_i) - 2C_i(\sigma_i, \dot{\sigma}_i)] x = 0$。
- 性质 11.3 ：系统的动力学是线性可参数化的，即 $H_i(\sigma_i) \dot{x} + C_i(\sigma_i, \dot{\sigma}_i) x = Y(\sigma_i, \dot{\sigma}_i, x, \dot{x})\theta_i$，其中 $Y(\sigma_i, \dot{\sigma}_i, x, \dot{x}) \in \mathbb{R}^{3\times6}$ 是回归矩阵，$\theta_i \in \mathbb{R}^6$ 是未知参数的常数向量。

2.3 控制目标

控制目标是设计分布式自适应控制律和触发条件，仅使用局部可用信息，使所有航天器能够在零角速度下同步到共同姿态，即 $\lim_{t \to \infty}[\sigma_i(t) - \sigma_j(t)] = 0_3$，$\lim_{t \to \infty} \omega_i(t) = 0_3$，其中 $0_3 = [0, 0, 0]^T$。同时，假设通信有向图 $G$ 是强连通的。

2.4 分布式参考系统设计

为了实现姿态同步，在每个航天器 $i$ 中引入参考系统：$\dot{z} i(t) = -\sum {j = 1}^{N} a_{ij}[\overline{z}_i(t) - \overline{z}_j(t)]$。其中，$z_i(t) \in \mathbb{R}^3$ 是系统的状态，$\overline{z}_i(t)$ 和 $\overline{z}_j(t)$ 分别是 $z_i$ 和 $z_j$ 的最新触发信号。

定义测量误差为 $\eta_i(t) = z_i(t) - \overline{z} i(t)$，触发条件为 $t {i_{k_i + 1}} = \inf \left{ t > t_{i_{k_i}} \mid |\eta_i(t)|^2 > \Pi_i \right}$，其中 $\Pi_i = \frac{\pi_i}{24\Delta_i} \sum_{j = 1}^{N} a_{ij} |\overline{z}_i(t) - \overline{z}_j(t)|^2 + \frac{1}{3\Delta_i} \psi_i(t)$，$\psi_i(t) = \varsigma_i e^{-\iota_i t}$。

在强连通有向图假设下，通过定义 Lyapunov 函数 $V_z = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} \xi_i z_i^T z_i$，可以证明参考系统的状态 $z_i$ 是全局一致有界的，并且可以同步到一个共同的常数向量，即 $\lim_{t \to \infty} z_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i z_i(0) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0)$，同时排除了 Zeno 行为。

2.5 分布式自适应控制律设计

定义滑模误差 $s_i = \sigma_i + \dot{\sigma}_i$ 和跟踪误差 $e_i = s_i - z_i$。实际控制律 $\tau_i$ 和参数更新律 $\dot{\hat{\theta}}_i$ 分别设计为：
- $\tau_i = F^T(\sigma_i) \overline{\tau}_i$
- $\overline{\tau}_i = -Y(\sigma_i, \dot{\sigma}_i, \sigma_i - z_i, \dot{\sigma}_i - \dot{z}_i) \hat{\theta}_i - K_i e_i$
- $\dot{\hat{\theta}}_i = \Gamma_i Y(\sigma_i, \dot{\sigma}_i, \sigma_i - z_i, \dot{\sigma}_i - \dot{z}_i)^T e_i$

其中，$\hat{\theta}_i$ 是未知参数 $\theta_i$ 的估计值，$K_i \in \mathbb{R}^{3\times3}$ 和 $\Gamma_i \in \mathbb{R}^{6\times6}$ 是对称正定矩阵。这种控制律仅使用局部连续信号和相邻触发信号，是完全分布式的。

2.6 稳定性和同步分析

主要结论是，在强连通有向图假设下，使用设计的触发条件、参考系统、分布式自适应控制律和参数更新律，所有闭环信号是一致有界的，所有航天器可以在零角速度下同步到共同姿态，即 $\lim_{t \to \infty} \sigma_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0)$，$\lim_{t \to \infty} \omega_i(t) = 0_3$。通过定义 Lyapunov 函数 $V = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} e_i^T H_i(\sigma_i) e_i + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} \tilde{\theta}_i^T \Gamma_i^{-1} \tilde{\theta}_i$，并分析其导数，可以证明该结论。

以下是多航天器姿态同步控制的流程：

graph LR
    A[确定控制目标] --> B[设计分布式参考系统]
    B --> C[设计分布式自适应控制律]
    C --> D[进行稳定性和同步分析]
    D --> E[实现姿态同步]

综上所述，无论是非完整移动机器人的编队控制，还是多航天器的姿态同步控制，都通过合理的设计和分析，实现了较好的控制效果。这些研究成果为相关领域的实际应用提供了理论支持。

3. 技术对比与总结

3.1 非完整移动机器人与多航天器控制技术对比

对比项目	非完整移动机器人	多航天器
控制问题	分布式自适应编队控制	分布式事件触发自适应姿态同步
模型表示	基于运动学和动力学模型	采用修正罗德里格斯参数（MRPs）表示姿态动力学
控制目标	使机器人编队误差满足一定条件	使航天器达到共同姿态且角速度为零
控制策略	分布式控制策略	引入分布式参考系统，结合事件触发通信
信息使用	局部信息	局部连续信号和相邻触发信号

从上述对比可以看出，虽然两者都属于分布式控制领域，但由于应用场景不同，在模型表示、控制目标和策略等方面存在明显差异。非完整移动机器人更侧重于编队的位置和方向误差控制，而多航天器则聚焦于姿态同步和零角速度控制。

3.2 关键技术总结

3.2.1 非完整移动机器人

• 编队误差分析 ：通过对相关估计器的分析，得出编队误差的结论，并可通过调整参数使误差尽可能小。
• 仿真验证 ：通过具体的仿真设置，验证了控制器的有效性。

3.2.2 多航天器

• 分布式参考系统 ：在每个航天器中引入参考系统，通过事件触发通信实现状态同步。
• 分布式自适应控制律 ：设计了基于滑模误差和跟踪误差的控制律和参数更新律，实现了完全分布式控制。
• 稳定性分析 ：通过定义 Lyapunov 函数，证明了系统的稳定性和同步性。

4. 实际应用与展望

4.1 实际应用

4.1.1 非完整移动机器人

非完整移动机器人的编队控制在物流仓储、智能交通等领域有广泛应用。例如，在物流仓储中，多个机器人可以按照一定的编队进行货物搬运，提高工作效率；在智能交通中，自动驾驶车辆可以采用编队控制技术，实现高效的交通流管理。

4.1.2 多航天器

航天器编队飞行的姿态同步技术在天文观测、地球监测等领域具有重要意义。例如，在天文观测中，多个航天器可以组成编队，实现对天体的多角度观测，提高观测精度；在地球监测中，编队飞行的航天器可以对地球进行全面、实时的监测。

4.2 未来展望

随着科技的不断发展，非完整移动机器人和多航天器的控制技术也将不断进步。未来可能的发展方向包括：
- 更复杂环境的适应性 ：研究如何使机器人和航天器在更复杂的环境中实现稳定的控制，如恶劣天气、复杂地形等。
- 多智能体协同 ：进一步提高多个机器人或航天器之间的协同能力，实现更高效的任务执行。
- 智能化控制 ：引入人工智能技术，使控制策略更加智能化，能够根据环境变化自动调整控制参数。

5. 操作步骤总结

5.1 非完整移动机器人仿真操作步骤

1. 确定参考轨迹，如 $x_r(t) = t$，$y_r(t) = 10\sin(0.1t)$。
2. 设定各机器人期望距离，如 $\rho_{1x} = 3$，$\rho_{1y} = 0$ 等。
3. 选择机器人参数，如 $b_i = 0.75$，$d_i = 0.3$ 等。
4. 确定控制参数，如 $\varepsilon_{i1} = 0.1$，$\varepsilon_{i2} = 0.1$ 等。
5. 设定初始值，如 $\hat{\theta} {i1}(0) = 0.16$，$\hat{\theta} {i2}(0) = 0.12$ 等。
6. 进行仿真。
7. 分析仿真结果。

5.2 多航天器姿态同步控制操作步骤

1. 确定控制目标，即所有航天器在零角速度下同步到共同姿态。
2. 设计分布式参考系统，包括系统状态方程和触发条件。
3. 设计分布式自适应控制律，包括实际控制律和参数更新律。
4. 进行稳定性和同步分析，通过定义 Lyapunov 函数证明系统的稳定性和同步性。
5. 实现姿态同步。

graph LR
    A[非完整移动机器人仿真操作] --> B[确定参考轨迹]
    B --> C[设定期望距离]
    C --> D[选择机器人参数]
    D --> E[确定控制参数]
    E --> F[设定初始值]
    F --> G[进行仿真]
    G --> H[分析结果]
    I[多航天器姿态同步控制操作] --> J[确定控制目标]
    J --> K[设计参考系统]
    K --> L[设计控制律]
    L --> M[进行稳定性分析]
    M --> N[实现姿态同步]

通过以上的分析和总结，我们对非完整移动机器人的分布式自适应编队控制和多航天器的分布式事件触发自适应姿态同步技术有了更深入的了解。这些技术在实际应用中具有重要价值，并且未来还有很大的发展空间。希望本文能够为相关领域的研究和应用提供有益的参考。