24、量子场论中的离散化、基变换与傅里叶变换

量子场论中的离散化、基变换与傅里叶变换

1. 离散化的费米子量子场论与概率自动机

在量子场论中，将其转化为等效的费米子图像是一个重要的研究方向。然而，这种费米子图像并不一定具有简单的形式，很多情况下，只有在连续极限下才能实现简单性。

我们可以提出一个相反的问题：哪些有趣的费米子量子场论可以离散化为对应的概率自动机？一般的离散化并不一定能得到自动机。对于给定的离散化，我们可以为适当选择的离散时间步计算步长演化算子。只有当这个步长演化算子是唯一跳跃矩阵时，离散费米子模型才等同于自动机。元胞自动机的性质通常源于量子场论的局域性。

离散费米子量子场论的步长演化算子的唯一跳跃性质似乎先验地具有相当的限制性。不过，已经开发出了相当有效的方法来构建具有唯一跳跃步长演化算子的离散费米子量子场论。这些方法包括传播和相互作用步骤的序列，或者为自动机使用移位块。实现自动机性质的费米子量子场论离散化的例子包括具有连续阿贝尔或非阿贝尔对称性的模型。可以实现局域规范对称性，特别是可以实现费米子的精确局域洛伦兹对称性，并且存在一些模型，其朴素连续极限在一般坐标变换下是不变的。还可以构建具有随机分布的固定无序点的模型，其朴素连续极限描述了一维空间中势场中的非相对论量子粒子。到目前为止，大多数模型是二维的，但已经提出了一个四维旋量引力的模型，它在朴素连续极限下具有精确的局域洛伦兹对称性和微分同胚不变性，这对于量子引力是合适的。

对于所有这些模型，有趣的费米子量子场论都是在朴素连续极限下实现的。一个关键问题是，真正的连续极限是否属于朴素连续极限所暗示的同一普遍性类别。特别是，这涉及到四维环境中的连续时空对称性，如旋转或洛伦兹 boost 下的不变性。如果这能够实现，我们可以推测有可能构建一个描述