30、量子计算中的关键概念与算法解析

量子计算中的关键概念与算法解析

1. 埃尔米特矩阵回顾

埃尔米特矩阵在量子计算中具有重要地位。对于一个在向量空间 (V) 上的 (n\times n) 复矩阵 (A)，若 (A = A^{\dagger})（即 (A) 等于其共轭转置且是自伴的），则称 (A) 为埃尔米特矩阵。对于内积 (\langle,\rangle)，有 (\langle Av_1, v_2\rangle = \langle v_1, A^{\dagger}v_2\rangle = \langle v_1, Av_2\rangle) 对所有 (V) 中的向量 (v_1) 和 (v_2) 都成立。

埃尔米特矩阵具有以下性质：
- (A) 的对角元素是实数。
- 若 (c) 是实数，则 (cA) 是埃尔米特矩阵。
- (A) 的特征值 (\lambda_j) 是实数，有些特征值可能会重复出现。
- 对应不同特征值的特征向量是正交的。
- 根据谱定理，可以找到 (V) 的一组正交归一特征向量 ({u_1, \ldots, u_n}) 及其对应的特征值 ({\lambda_1, \ldots, \lambda_n})。许多关于 (A) 的证明都涉及将 (A) 的应用简化为涉及 (u_j) 和 (\lambda_j) 的表达式。
- 设 (U) 是第 (j) 列等于 (u_j) 的矩阵，则 (U) 是酉矩阵，因为 (UU^{\dagger} = I_n = U^{\dagger}U)。
- 设 (D) 是对角元素为 ({\lambda_1, \ldots, \lambda_n}) 的对角矩阵，则可以通过酉基变换将 (A) 变换为 (D)，即 (A = UDU^{\dag