24、量子计算中的随机采样、离散对数及相关问题解析

量子计算中的随机采样、离散对数及相关问题解析

1. 离散对数算法中的特殊情况处理

在离散对数算法中，存在一些特殊情况需要处理。当采样得到 $k = 0$ 时，这种情况发生的概率为 $1 - \frac{1}{r}$，我们可以不断尝试，直到得到非零的 $k$。

若 $d = \gcd(k, r) > 1$，此时有 $r = r_1d$，$k = k_1d$，且 $kt = k_1dt \bmod r$。我们可以通过计算 $(k_1^{-1} \bmod r_1)(k_1t \bmod r_1) \bmod r_1$ 得到 $t_1 = t \bmod r_1$。然后可知 $t = t_2r_1 + t_1$，其中 $t_2$ 是一个非负整数且 $t_2 < d$。若定义 $b_1 = b^{r_1}$ 和 $a_1 = a^{r_1}$，则有 $b_1 = a_1^{t_2}$，且 $a_1$ 的阶为 $d$。接着可以应用离散对数算法来求 $t_2 \bmod d$ 或 $t_2$ 模 $d$ 的某个非平凡因子。广义离散对数算法的递归应用的期望次数至多为 $O(\log r)$。

当 $r$ 不是素数时，可采用第 7.5 节中针对隐藏子群问题的一般分析方法。该方法是将离散对数算法重复 $O(\log r)$ 次，生成对 $(k_1t, k_1), (k_2t, k_2), \cdots, (k_mt, k_m)$，然后求解线性系统：
[
\begin{bmatrix}
k_1t & k_1 \
k_2t & k_2 \
\vdots & \vdots \
k_mt & k_m <