13、量子理论中的纠错码：原理与应用

量子理论中的纠错码：原理与应用

1. 引言

在量子理论的研究中，纠错码的应用是一个具有重要意义的领域。它不仅与量子计算和量子密码学密切相关，还为理解量子干涉等基本问题提供了新的视角。本文将探讨一种新的不确定性关系，以及它与经典信息理论中线性纠错码的联系，并介绍如何利用这些码实现量子比特的纠错。

2. 量子系统基础

2.1 量子系统模型

考虑一个具有 $2^n$ 维希尔伯特空间的量子系统（$n$ 为正整数）。例如，它可以是 $n$ 个双态系统，如 $n$ 个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子或 $n$ 个二能级原子。这些系统能够模拟任何其他量子系统的行为，包括宏观物体，如测量设备。

每个粒子的两个正交态表示为 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，乘积态如 $|0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |1\rangle$ 可写成 $|001\rangle$，其中第一个二进制数字（0 或 1）表示第一个粒子的状态，第二个数字表示第二个粒子的状态，依此类推。$n$ 个粒子的一般状态可以写成乘积态的叠加（纠缠）形式。例如，两个粒子的单重态为 $\frac{|10\rangle - |01\rangle}{\sqrt{2}}$。为简化表示，后续将省略这些表达式中的整体归一化因子，这不会影响论证，必要时可轻松重新引入。

2.2 基的定义

$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 构成一个基，称为“基 1”。我们还将考虑一个旋转基“基 2”。例如，对于自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子的自旋态，这两个基可以对应于垂直或水平的量子化轴选