基于QFT的双转子鲁棒控制

基于定量反馈理论的非线性双转子控制系统鲁棒控制器设计

摘要

本文提出了一种针对存在参数不确定性的双转子控制系统（TRCS）的鲁棒控制器。双转子控制系统（TRCS）是一类具有复杂非线性和交叉耦合效应的多输入多输出（MIMO）系统的典型代表。将TRCS模型的线性化形式解耦为两个单输入单输出（SISO）系统。基于定量反馈理论（QFT），针对这两个SISO子系统设计了鲁棒控制器和前置滤波器，以满足最小增益和相位裕度、鲁棒性能的跟踪性能指标、执行器饱和、快速收敛、输入和输出扰动抑制以及传感器噪声衰减等要求。QFT是一种基于频域尼科尔斯图的新型创新性鲁棒控制技术。该方法能够在系统参数不确定性范围内，同时应对输入输出扰动和噪声，实现期望的鲁棒控制器设计。为满足鲁棒稳定性和鲁棒跟踪的要求，设计了基于QFT的控制器和前置滤波器。此外，还为TRCS的非线性模型设计了一个比例‐积分‐导数（PID）控制器，以便与基于QFT的控制器进行结果对比。通过仿真研究，对两种控制器在TRCS非线性模型上的应用进行了详细的比较评估。

关键词 ：非线性耦合系统；PID控制器；前置滤波器；定量反馈理论；QFT；鲁棒性；双转子控制系统；TRCS。

1 引言

近年来，已实施多种技术用于双转子控制系统（TRCS）的控制（TRMS 33‐949S 用户手册，2006）。双转子控制系统因其存在非线性、交叉耦合、不确定性、复杂性、参数变化以及外部干扰等问题，吸引了控制工程师和研究人员的关注。朱昂等人（2008 年）提出了一种基于实值遗传算法（RGA）的模糊比例‐积分‐微分（PID）控制技术，用于解决设定点控制问题。在交叉耦合状态下，针对具有俯仰角和方位角两个自由度（2‐DOF）的双转子控制系统进行控制，使其响应对期望姿态快速且准确。陶等人（2010b）设计了一种新颖的模糊滑模与模糊积分滑模控制器，用于双转子控制系统的俯仰角和偏航角控制。蒙达尔和马汉塔（2012年）为双转子控制系统推导出一种自适应二阶滑模控制律。托哈等人（2012年）采用基于蚁群优化的算法建立了双转子控制系统的模型。温和卢（2008年）应用鲁棒无静差控制技术实现了双转子控制系统的解耦控制。与传统PID控制相比，所提出的方案具有更短的调节时间和更小的超调量，并且对交叉耦合干扰具有更强的鲁棒性。

双转子控制系统的补偿通过两个步骤实现：首先，设计一个解耦补偿器以对双转子控制系统进行解耦；然后，为两个解耦的单输入单输出（SISO）子系统设计2自由度单输入单输出（SISO）控制器（Pradhan 和 Ghosh，2013年）。Tao 等人（2010a）针对双转子控制系统的解耦模型建立了模糊Takagi‐Sugeno（TS）模型。基于该模糊TS模型，综合了并行分布模糊线性二次调节器来控制双转子控制系统的俯仰角和方位角。朱昂等人（2011年）阐述了为双转子控制系统设计的经典与智能控制器的性能分析，并对两者进行了比较。罗通多等人（2013年）提出了双转子控制系统的拟线性参数变化（QLPV）建模、辨识与控制方法，将双转子控制系统的非线性模型转化为QLPV系统，并利用最小二乘辨识技术对未知模型参数进行标定，且通过实际数据进行了验证。

Rahideh 等人 (2012) 提出了一种基于人工神经网络的双转子控制系统自适应动态非线性模型逆控制律。实时响应表明，在存在由模型不确定性引起的逆误差的情况下，系统仍具有满意的跟踪性能。关于双转子控制系统的实时观测器，Shaik 等人 (2011) 和 Pratap 与 Purwar (2013) 已在文献中进行了报道。Pratap 和 Purwar (2014) 展示了一种基于自适应非线性观测器的鲁棒控制器，并给出了实验结果。类似地，Pratap 和 Purwar (2018) 实现了用于双转子控制系统的基于扰动和摩擦观测器的控制器的实时应用。切比雪夫神经网络（CNN）和李雅普诺夫理论被应用于保证闭环系统的稳定性。

此外，Rakhtala 和 Ahmadi (2017) 设计了一种基于超扭曲算法的二阶滑模控制器，用于双转子控制系统中的俯仰角和偏航角补偿。

定量反馈理论（QFT）是一种针对具有对象不确定性的鲁棒反馈控制系统功能强大的设计技术。基于经典分析中著名的奈万林纳‐皮克理论，可推导出鲁棒稳定器存在的充分条件。所得结果基于标称灵敏度函数的上界。Patil 等人，2012 提出并采用QFT技术为磁悬浮系统设计了一种分数阶比例积分（FOPI）控制器。将所设计的FOPI控制器性能与采用相同指标设计的整数阶PID（IOPID）控制器进行了比较。结果表明，即使存在近似，所设计的FOPI控制器性能仍明显优于 IOPID控制器。Patil 和 Nataraj (2012) 基于区间约束满足技术，开发了MIMO QFT固定结构控制系统的自动设计方法。所设计的鲁棒控制器在实验磁悬浮装置上进行了测试。Satpati 等人 (2014) 提出了一种利用粒子群优化实现自动QFT的、用于带纯延迟的一阶滞后模型的鲁棒PID控制器设计方法。该方法实现了环路整形的自动化，减少了计算量，提高了设计质量，并通过最优调参的PID控制器定量地改善了性能。Shoushtari 和 Sedigh (2012) 提出了基于监督切换的QFT控制器结构，用于控制高度不确定的被控对象。监督器选择与最符合被控对象数据的局部模型相对应的激活控制器。Sharma 和 Pratap (2015) 对双转子控制系统（TRCS）的基于QFT的控制设计进行了研究。该论文考虑的控制设计指标数量非常少，而提出的工作包含了更广泛的设计指标。据我们所知，目前文献中关于双转子控制系统（TRCS）的基于QFT的鲁棒控制设计研究成果极少。因此，本工作在 TRCS的鲁棒控制设计方面具有新颖性，能够简单地满足多种设计指标。

本文提出了一种针对存在参数不确定性的双转子控制系统（TRCS）的非线性鲁棒控制器。仿真研究表明，所提出的鲁棒控制器在存在扰动和噪声的情况下表现出满意性能。仿真结果表明，所提出的控制策略具有良好的跟踪性能。此外，为进行比较评估，将PID控制器与所提出的TRCS鲁棒控制方案进行了对比。本文其余部分结构如下：第2节为预备知识，包含TRCS系统数学模型、定量反馈理论（QFT）的简要介绍以及本文的问题描述。基于定量反馈理论的鲁棒控制器在第 3节中给出。第4节介绍了PID控制方案。第5节和第6节展示了所提出的通过仿真结果和比较分析验证控制器性能，相关结论在第7节中给出。

2 预备知识

2.1 双转子控制系统（TRCS）及建模

双转子控制系统（TRCS）由两个单元组成：机械单元和电气单元。TRCS的机械单元包括安装在横梁上的两个转子以及一个配重。整个单元固定在塔架上，以确保控制实验的安全进行。位于塔架下方的TRCS电气单元在TRCS控制中起着重要作用，它能够将测量信号传输到数字计算机，并通过I/O卡施加控制信号。机械单元和电气单元共同构成了完整的控制系统配置，如图1所示（TRMS 33‐949S 用户手册，2006）。整个TRCS的动力学特性类似于直升机，该系统在俯仰角和偏航角上具有2自由度。

双转子系统的完整动态行为可以用如下所示的微分方程形式表示（赛克等人，2011）：

$$
\begin{aligned}
\dot{\psi} &= \frac{1}{I_1}\left( a_1 \tau_1 + b_1 \tau_2 - B_{1\psi} \dot{\psi} - Mg \sin(\psi) - k_{gy} \cos(\psi) \dot{\phi}^2 \right) \
\dot{\tau} 1 &= \frac{1}{T {11}} \left( -\tau_1 + k_1 u_1 \right) \
\dot{\phi} &= \frac{1}{I_2} \left( a_2 \tau_1 + b_2 \tau_2 - B_{1\phi} \dot{\phi} - k_c \tau_1 \tau_2 \right) \
\dot{\tau} 2 &= \frac{1}{T {21}} \left( -\tau_2 + k_2 u_2 \right)
\end{aligned}
\quad
(1)
$$

其中，$\psi$、$\phi$、$\dot{\psi}$、$\dot{\phi}$、$\tau_1$、$\tau_2$、$u_1$ 和 $u_2$ 分别为俯仰角（仰角）、偏航角（方位角）、俯仰角和偏航角的角速度、主旋翼和尾旋翼的动量以及施加到主旋翼和尾旋翼的电压。输入电压的变化会引起转子转速的变化，从而导致俯仰角/偏航角的相应变化。所考虑的VSWT非线性模型的整体动力学框图如图2所示。

由(1)描述的双转子控制系统可以表示为如下状态空间形式：

$$
\dot{x} = f(x, u) + d(t), \quad y = Cx + v
\quad (2)
$$

其中 $x = [\psi, \dot{\psi}, \tau_1, \phi, \dot{\phi}, \tau_2]^T$ 是状态向量，$u = [u_1, u_2]^T$ 是输入向量，$y = [x_1, x_4]^T$ 是输出向量，$d(t)$ 是有界的扰动，$v$ 是传感器噪声。矩阵 $f(x, u)$ 和 $C$ 由以下给出：

$$
f(x, u) =
\begin{bmatrix}
x_2 \
\frac{1}{I_1}(a_1 x_3 + b_1 x_6 - B_{1\psi} x_2 - Mg \sin(x_1) - k_{gy} \cos(x_1) x_5^2) \
\frac{1}{T_{11}}(-x_3 + k_1 u_1) \
x_5 \
\frac{1}{I_2}(a_2 x_3 + b_2 x_6 - B_{1\phi} x_5 - k_c x_3 x_6) \
\frac{1}{T_{21}}(-x_6 + k_2 u_2)
\end{bmatrix},
\quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

矩阵$f(x, u)$ 可以在 $x = 0$ 处使用雅可比方法进行线性化。TRCS非线性模型(2)的线性化形式为：

$$
\dot{x} = Ax + Bu + d(t), \quad y = Cx + v
\quad (3)
$$

其中
$$
A = \begin{bmatrix} A_m & 0 \ 0 & A_t \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} B_m & 0 \ 0 & B_t \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} C_m & 0 \ 0 & C_t \end{bmatrix}
$$

with
$$
A_m = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
0 & -\frac{B_{1\psi}}{I_1} & \frac{a_1}{I_1} \
0 & 0 & -\frac{1}{T_{11}}
\end{bmatrix}, \quad
B_m = \begin{bmatrix}
0 \
0 \
\frac{k_1}{T_{11}}
\end{bmatrix}, \quad
C_m = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
A_t = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
0 & -\frac{B_{1\phi}}{I_2} & \frac{b_2}{I_2} \
0 & 0 & -\frac{1}{T_{21}}
\end{bmatrix}, \quad
B_t = \begin{bmatrix}
0 \
0 \
\frac{k_2}{T_{21}}
\end{bmatrix}, \quad
C_t = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

The linearised form of TRCS(3) decomposed into two SISO subsystems 对应于主旋翼和尾旋翼的动力学。两个转子之间的交叉耦合包含在有界的扰动中。

两个子系统的动力学由以下表示：

主旋翼单输入单输出子系统(MRS)：

$$
\dot{x}_m = A_m x_m + B_m u_m + d(t), \quad y_m = C_m x_m + v
\quad (4)
$$

以及尾旋翼单输入单输出子系统(TRS)：

$$
\dot{x}_t = A_t x_t + B_t u_t + d(t), \quad y_t = C_t x_t + v
\quad (5)
$$

双转子控制系统中使用的标称系统参数列于表1（TRMS 33‐949S 用户手册，2006）。

表1 双转子控制系统的系统参数
参数	数值
I1=主旋翼的转动惯量	0.068 千克·米²
I2=尾旋翼的转动惯量	0.02 kg‐m²
a1=静态特性参数	0.0135
b1=静态特性参数	0.0924
a2=静态特性参数	0.02
b2=静态特性参数	0.09
Mg=重力动量	0.32 牛·米
B1ψ=摩擦动量函数参数	0.006 牛·米·秒/弧度
B1φ=摩擦动量函数参数	0.1 牛·米·秒/弧度
kgy=陀螺力矩参数动量	0.05 秒/弧度
k1=电机1增益	1.1
k2=电机2增益	0.8
kc=交叉反作用动量增益	–0.2
T11=电机1分母参数	1.1
T10=电机1分母参数	1
T21=电机2分母	1
T20=电机1分母参数	1
Tp=交叉反作用动量参数	2
T0=交叉反作用动量参数	3.5
u1和 u2=施加到主旋翼和尾旋翼的输入电压（有界的）	±2.5 V

系统参数不确定性（标称值的±5%到 ±25%）选择如下：I1 ∈(0.068到0.073)千克·米² , I2 ∈ (0.02到0.025)千克·米² , B1ψ ∈(0.006到0.0065)牛·米·秒/弧度，B1φ ∈(0.1到0.2)牛·米·秒/弧度，k1 ∈(1.1到1.3)，k2 ∈(0.8到0.85)。

2.2 定量反馈理论

定量反馈理论（QFT）是一种鲁棒设计方法，明确强调利用反馈同时定量地减小被控对象不确定性的影响并满足性能指标（桑兹和胡皮斯，2012年）。QFT源于经典频率响应分析，结合了伯德图、模板操作和尼科尔斯图。QFT基于这样一个事实：当被控对象存在模型不确定性或存在作用于被控对象的不确定干扰时，需要引入反馈。任何具有不确定性的被控对象的鲁棒控制性能均根据预定义指标来确定。QFT是一种非常强大的工具，能够弥合控制理论与实际应用之间的差距。

所提出控制方法（QFT）的稳定性已由贾亚苏里亚和赵（1994）进行了详细分析。

在基于QFT的控制器设计方法中考虑了两类问题：
1 控制器的鲁棒性
2 鲁棒稳定性的存在。

这两个问题都是综合控制器鲁棒性能的前提。QFT中使用的奈奎斯特稳定性分析基于零排除条件，该条件在某些简单的连续性假设下适用。特别是，不确定对象类别包括在整个对象不确定性中不存在右半平面极点‐零点相消的情况。QFT方法的主要目标是设计并实现不确定对象的2自由度鲁棒控制系统，如图3所示，该系统在满足期望性能指标的同时，实现合理的低回路增益（最小化带宽、传感器噪声放大和控制系统饱和）。

一组传递函数P(s)，用于描述参数不确定性区域，针对该区域设计级联控制器G(s)和前置滤波器F(s)，以满足鲁棒稳定性、鲁棒性能指标，实现参考信号跟踪Yd(s)、输入干扰抑制D1(s)、输出干扰抑制D2(s)、噪声信号衰减N(s)、控制 effortU(s)以及执行器约束A(s)，同时降低因过大带宽带来的反馈代价（辛格等，2018）。

2.3 问题表述

本文的目标是设计一个鲁棒控制器，使得双转子控制系统：
a 具有最小稳定性指标（增益裕度和相位裕度）；
b 具有最小性能指标（上升时间、峰值时间、调节时间和超调量）；
c 在指定的平滑参考轨迹内跟踪俯仰角和偏航角；
d 实现快速收敛，可能包括使用前置滤波器来调节响应；
e 抑制被控对象的输入和输出扰动并衰减传感器噪声；
f 考虑执行器饱和以实现有界控制量。

3 基于QFT的控制器设计

3.1 模板

在应用QFT设计鲁棒反馈控制系统时，生成被控对象模板是一个关键步骤。在定义了第2.1小节中给出的部分具有参数不确定性的TRCS之后，生成了被控对象模板。

被控对象模板可以定义为频率特性点P(jωi)在尼科尔斯图上所形成的区域。换句话说，模板表示在特定频率下包含不确定性的被控对象在尼科尔斯图上的频率响应。

基于QFT的控制器针对两个子系统进行设计，频率范围选定为(0.001至1000)弧度/秒。

3.2 鲁棒性能指标

双转子控制系统主旋翼和尾旋翼子系统(4)和(5)的鲁棒性能指标为：

3.2.1 鲁棒稳定性指标

闭环鲁棒稳定性可以通过关于原点的禁区来表示。该禁区由尼科尔斯图上的M轨迹包围。根据奈奎斯特判据，只要在不确定性条件下奈奎斯特图的回路增益不穿过尼科尔斯图上的临界点（–180°,0 dB），系统稳定性就能保持。

$$
\left| \frac{P(s)G(s)}{1 + P(s)G(s)} \right| \leq \mu = 1.18
\quad (6)
$$

对应的最小增益裕度：

$$
K_m = \frac{1}{\mu - 1} = \frac{1}{1.18 - 1} = 5.33 \text{ dB}
\quad (7)
$$

以及最小相位裕度：

$$
\phi_m = 180^\circ - 2\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\mu}\right) = 180^\circ - 2\cos^{-1}\left(\frac{1}{2 \times 1.18}\right) = 50.14^\circ
\quad (8)
$$

因此，期望的鲁棒稳定性指标为：增益裕度 > 5.33 dB，相位裕度 > 50.14 deg。

两个子系统的鲁棒稳定性指标分别如图3(a)和图3(b)所示。

假设闭环鲁棒控制系统具有以下期望性能指标：上升时间 < 3 秒，峰值时间 < 5 秒，调节时间 < 7 秒，超调量 < 12%。

3.2.2 被控对象输入处的干扰抑制

为维持稳定性，输入干扰抑制的边界定义为：

$$
\left| \frac{Y(j\omega)}{D_1(j\omega)} \right| = \left| \frac{P(j\omega)}{1 + P(j\omega)G(j\omega)} \right| \leq \frac{6.15}{5}
\quad (9)
$$

3.2.3 被控对象输出处的干扰抑制

为维持稳定性，输出干扰抑制的边界定义为：

$$
\left| \frac{Y(j\omega)}{D_2(j\omega)} \right| = \left| \frac{1}{1 + P(j\omega)G(j\omega)} \right| \leq 1.5
\quad (10)
$$

3.2.4 传感器噪声衰减

噪声的边界定义为：

$$
\left| \frac{Y(j\omega)}{N(j\omega)} \right| = \left| \frac{P(j\omega)G(j\omega)}{1 + P(j\omega)G(j\omega)} \right| \leq \frac{6}{5}
\quad (11)
$$

3.2.5 参考跟踪性能指标

假设俯仰角和偏航角的下限和上限分别为 $y_{ml}(t) = y_{tl}(t) = 0.3 \sin (0.5 t)$ 和 $y_{mu}(t) = y_{tu}(t) = 0.6 \sin (0.5 t)$。频域中的参考跟踪轨迹为 $y_{ml}(s) = y_{tl}(s) = 0.15 / (s^2+ 0.25)$ 和 $y_{mu}(s)= y_{tu}(s) = 0.30 / (s^2+ 0.25)$。双转子控制系统子系统(3)和(4)的参考跟踪性能指标如下：

$$
\frac{0.15}{\omega^2 + 0.25} \leq \left| \frac{P(j\omega)G(j\omega)F(j\omega)}{1 + P(j\omega)G(j\omega)} \right| \leq \frac{0.30}{\omega^2 + 0.25}
\quad (12)
$$

where
$$
\frac{Y(j\omega)}{Y_d(j\omega)} = \frac{P(j\omega)G(j\omega)F(j\omega)}{1 + P(j\omega)G(j\omega)}
$$

3.3 边界和环路整形

在所提出的基于定量反馈理论的鲁棒控制器设计中，定量反馈理论根据被控对象模板和鲁棒性能指标，将闭环性能指标转换为标称开环传递函数L0(jω)上的幅值和相位约束。这些约束被称为QFT边界。每项指标都有相应的边界，以及所有边界的并集和所有边界的交集。利用MATLAB中的QFT控制工具箱，通过调整增益、实数和/ 或复数极点与零点、积分器/微分器、超前/滞后、陷波等控制器设计参数的数值，使得控制器图尽可能接近边界，从而确定对应于主旋翼和尾旋翼子系统的控制器Gm(s)和Gt(s) [参见图4(a)和图4(b)]。所提出的控制器通过在尼科尔斯图上进行环路整形，并结合稳定性指标进行设计 [参见图4(c)和图4(d)]。在选择合适的控制器设计参数时，需考虑标称开环传递函数L 0(j ω)必须在每个特定频率下保持在实线边界之上和虚线边界之下，以满足期望的性能指标。

根据上述环路整形，子系统(4)和(5)的控制器传递函数给出如下：

$$
G_m(s) = \frac{17,880 s^3 + 26,680 s^2 + 8,423 s + 3.206}{s^3 + 203.5 s^2 + 10,100 s}
\quad (13)
$$

$$
G_t(s) = \frac{11.64 s^2 + 12.1 s + 0.004609}{s^3 + 10.29 s^2 + 14.79 s}
\quad (14)
$$

通过取变化参数的标称值，即B 1ψ 、B 1φ 、I 1 , I2 , k1 ,和k 2 , ，子系统(4)和(5)的被控对象传递函数为：

$$
P_{m0}(s) = \frac{1.356}{s^3 + 0.9971 s^2 + 0.08003 s}
\quad (15)
$$

$$
P_{t0}(s) = \frac{3.6}{s^3 + 6 s^2 + 5 s}
\quad (16)
$$

由(13)–(16)可得两个子系统的开环传递函数为：

$$
L_{m0}(s) = P_{m0}(s) G_m(s) = \frac{24,240 s^3 + 36,170 s^2 + 11,420 s + 4.347}{s^6 + 204.5 s^5 + 10,300 s^4 + 10,080 s^3 + 807.9 s^2}
\quad (17)
$$

$$
L_{t0}(s) = P_{t0}(s) G_t(s) = \frac{41.91 s^2 + 43.55 s + 0.01659}{s^6 + 16.29 s^5 + 81.52 s^4 + 140.2 s^3 + 73.95 s^2}
\quad (18)
$$

(17) 和 (18) 的伯德图如图5所示，从这些图中得到的增益和相位裕度分别为：Km= 38.5 dB，$\phi_m$= 76.2 deg，Kt= 16.7 dB，$\phi_t$= 61.4 deg。

双转子控制系统两个子系统的闭环传递函数Lm0c(s) = Lm0(s) / (1+ Lm0(s))和Lt0c(s) = Lt0(s) / (1+ Lt0(s)) 的阶跃响应如图6所示。

从上述阶跃响应中，确定了采用所提出的基于QFT的控制器的双转子控制系统的性能指标，并在表2中给出。

表2 主旋翼和尾旋翼子系统的性能指标
指标 →	上升时间（10%–90%）	峰值时间	调节时间（2%）	超调量
主旋翼子系统	0.612秒	1.67秒	4.53秒	10.2%
尾桨子系统	2.2秒	4.78秒	6.81秒	6.32%
## 3.4 预滤波器设计

前置滤波器的目的是将Lm0c(s) 和 Lt0c(s) 置于频域指标范围内。前置滤波器使用 QFT工具箱针对子系统(4)和(5)进行设计，其表达式为：

$$
F_m(s) = \frac{0.001569 s^3 + 0.165 s^2 + 4.139 s + 9.033}{s^3 + 55.65 s^2 + 0.25 s + 13.91}
\quad (19)
$$

$$
F_t(s) = \frac{243.9 s^4 + 3,772 s^3 + 14,120 s^2 + 18,770 s + 8,202}{s^4 + 416.5 s^3 + 36,250 s^2 + 104.1 s + 9,063}
\quad (20)
$$

两个子系统在频率和时域中的期望参考跟踪如图7所示。

3.5 分析

定量反馈理论在被控对象参数不确定性的最坏情况下，分析控制器G(s)和前置滤波器F(s)在频率以及时域中的表现（桑兹和胡皮斯，2012年）。

3.5.1 频域分析

这允许针对定义的指标对控制系统的闭环响应进行分析。虚线表示期望的性能指标，实线表示在被控对象不确定性的每个频率下所有传递函数中最差的情况。

3.5.2 时域分析

该分析针对被控对象不确定性范围内的多个被控对象，研究了控制系统的时域响应。采用定量反馈理论（QFT）进行设计。

在参考信号处施加一个单位阶跃，研究其性能 L0(s)F(s) / (1+ L0(s)) 或 L0(s) / (1+ L0(s)) 在被控对象输出端产生一个单位脉冲，研究 1 / (1+ L0(s)) 的性能。

图8中分析了主旋翼和尾旋翼子系统(4)和(5)的稳定性指标。

通过在双转子控制系统上应用提出的控制方案进行仿真研究，已给出满足以下要求的鲁棒性能指标：
1 存在参数不确定性时的鲁棒稳定性（见图8）
2 在频域和时域中对来自被控对象的输入干扰抑制（见图9）
3 在频域和时域中对来自被控对象的输出干扰抑制（见图10）
4 在频域和时域中的传感器噪声衰减（见图11）。

在下一节中，将考虑双转子控制系统的PID控制器，以与所提出的鲁棒控制器进行比较。

4 PID控制

PI控制器被综合用于保持许多工业过程的闭环稳定性（Ang等，2005）。它为许多现实世界的控制问题提供了最简单且高效的解决方案，因为它可以控制瞬态和稳态响应。由于PID控制器提供的无与伦比的简单性、适用性、功能性和易用性，超过90%的工业控制器仍然基于PID算法。PID控制器本质上是一种滞后‐超前补偿器，其一个极点位于原点，另一个位于无穷远。类似地，PD和PI控制器分别是超前补偿器和滞后补偿器的形式。TRCS（2）的一个现有PID控制器（TRMS 33‐949S 用户手册，2006）以如下并行形式表示：

对于主转子1：

$$
G_m(s) = K_{Pm} + \frac{K_{Im}}{s} + K_{Dm}s, \quad F_m(s) = \frac{1}{s}
\quad (21)
$$

其中比例增益 $K_{Pm} = 3$，积分增益 $K_{Im} = 8$，微分增益 $K_{Dm} = 10$，以及微分低通滤波器 $F_m(s) = \frac{44.84}{s^2 + 3,943.84 s + 44.84}$。

对于尾旋翼1：

$$
G_t(s) = K_{Pt} + \frac{K_{It}}{s} + K_{Dt}s, \quad F_t(s) = \frac{1}{s}
\quad (22)
$$

其中比例增益 $K_{Pt} = 2$，积分增益 $K_{It} = 0.5$，微分增益 $K_{Dt} = 5$，以及微分低通滤波器 $F_t(s) = \frac{44.84}{s^2 + 3,943.84 s + 44.84}$。

5 所提控制器的实现用于双转子控制系统的非线性模型

双转子控制系统装置的初始条件选择为 $[0.1\ 0\ 0\ 0.1\ 0\ 0]^T$。主旋翼和尾旋翼的期望轨迹选定为，ymd = 0.2 sin (0.2 πt) + 0.2 sin (0.1 πt)

ytd= 0.5 sin (0.2 πt) + 0.5 sin (0.1 πt)。TRCS非线性装置和主旋翼与尾旋翼的期望轨迹的初始条件选择与定量反馈理论以及基于PID的控制器情况相同。图12展示了使用定量反馈理论以及PID控制器对TRCS非线性模型的期望俯仰角和偏航角与实际俯仰角和偏航角的跟踪情况。

从上述曲线可以看出，测量的俯仰角和偏航角能够成功跟踪参考轨迹。双转子控制系统在采用提出的控制律时的性能与TRCS手册（TRMS 33‐949S 用户手册，2006年）中提供的传统PID控制器进行了比较。

6 性能比较分析

本节通过图13对应用于TRCS非线性模型的两种控制器进行了比较评估。

图13(a)和图13(b)给出了使用两种控制器时TRCS非线性模型的俯仰和偏航跟踪误差的比较。可以看出，所提出的基于QFT的控制器的跟踪误差远小于PID控制器。

图13(c)和图13(d)显示了控制量在表1所述±2.5伏范围内的有界控制量曲线。误差的均方根（RMS）数值已确定并列于表3中。因此，基于QFT的控制器对参数不确定性、扰动和噪声的鲁棒性得到了保证。

表3 俯仰角和偏航角跟踪误差的均方根数值
操作	控制器	无不确定性	存在不确定性（5%至25%）
俯仰控制	基于QFT的控制	0.025209	0.030565
	基于PID的控制	0.074748	0.090631
偏航控制	基于QFT的控制	0.095762	0.116111
	基于PID的控制	0.173486	0.210351

从表3可以看出，基于定量反馈理论的提出的俯仰和偏航控制器比PID控制器（TRMS 33‐949S 用户手册，2006）具有更小的跟踪误差。所提出的控制律旨在应对外部干扰、噪声和参数不确定性（相对于标称值变化5%至25%）。因此，针对双转子控制系统设计的该控制算法实现了鲁棒性能。

7 结论

本文采用QFT方法设计了一种具有前置滤波器的鲁棒非顺序对角控制器，该控制器能够容忍系统参数不确定性。在增益和相位裕度方面成功实现了最小稳定性指标，同时在上升时间、峰值时间、调节时间和超调量方面成功达到了最小性能指标。参考跟踪前置滤波器能够在指定的参考轨迹范围内有效跟踪俯仰角和偏航角。输入和输出扰动抑制、传感器噪声衰减以及控制 effort 限制等指标也均得到满足。将所提出的鲁棒控制器与应用于TRCS非线性模型的PID控制器进行比较分析，结果表明前者具有更优的鲁棒性能。从比较分析可以看出，采用所提出QFT方法的 TRCS系统对被控对象输入输出干扰、噪声具有显著的不敏感性，且跟踪误差非常小。所提出基于QFT的鲁棒控制方案在实时应用中的可行性将在不久的将来予以报道。