16、量子算法：从Simon算法到量子傅里叶变换与相位估计-优快云博客

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量子算法：从Simon算法到量子傅里叶变换与相位估计

1. Simon算法介绍

在量子计算领域，Simon算法是一个重要的算法。从状态 $|\phi_4 \rangle$ 开始，对第一个寄存器的 $n$ 个量子比特进行测量，会出现两种可能情况：要么 $s \cdot y = 0$，要么 $s \cdot y = 1$。
- 若 $s \cdot y = 1$，则 $|\phi_4 \rangle = 0|y\rangle$，这意味着第二个寄存器始终为0。
- 若 $s \cdot y = 0$，则 $|\phi_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^{n + 1}}}\sum_{y \in {0,1}^n} (-1)^{z \cdot y}|y\rangle$，即会得到 $y$ 的等叠加态。

接下来，我们使用Silq语言实现Simon算法。假设秘密比特串为011，由于需要 $2n$ 个量子比特来构建量子电路，这里 $n = 3$，所以总共需要6个量子比特。以下是具体代码：

def Simon(){
  // Initializing Qubits for Inputs - a,b,c and Oracle - d,e,f
  a:=0:𝔹 ;
  b:=0:𝔹 ;
  c:=0:𝔹 ;
  d:=0:𝔹 ;
  e:=0:𝔹 ;
  f:=0:𝔹 ;
  // Applying Hadamard to Inputs
  a:=H(a);
  b:=H(b);
  c:=H(c);
  // Encoding 011 secret key in the Oracle
  if b{
    d := X(d);
  }
  if b{
    e := X(e);
  }
  if
 ......
  // Applying Hadamard to Inputs
  a:=H(a);
  b:=H(b);
  c:=H(c);
  // Measure the d,e,f qubits for variable consumption
  md:=measure(d);
  me:=measure(e);
  mf:=measure(f);
  return (a,b,c,md,me,mf);
}

在上述代码中，首先定义了 Simon() 函数，初始化了6个量子比特，对输入量子比特 $a$、$b$、$c$ 应用Hadamard门。然后使用CX门在oracle中编码011秘密比特串，将 $b$ 和 $c$ 作为控制比特，$d$、$e$、$f$ 作为目标比特。之后再次对输入量子比特应用Hadamard门，并测量 $d$、$e$、$f$ 量子比特以避免代码出错。最后返回 $a$、$b$、$c$、$md$、$me$、$mf$ 量子比特作为结果。

主函数如下：

def main() {
  return Simon();
}

运行该电路多次，会发现状态011经常出现，这证明Simon算法能够检测到011比特串，说明给定的oracle函数是二对一的。如果最常出现的状态是000，则函数是一对一的。

2. 经典离散傅里叶变换（DFT）

在深入了解量子傅里叶变换（QFT）之前，需要先了解经典离散傅里叶变换（DFT），因为QFT是从DFT推导而来的。DFT是输入序列的频域表示，在信号谱分析、图像和声音数据的有损压缩、数学中的偏微分方程求解和多项式乘法等方面都有应用。

从数学角度，DFT定义为：$F(\omega) = \sum_{j = 0}^{N - 1} e^{\frac{2\pi i j}{N}}x_j$，其中存在从输入域 $x_i$ 到输出域 $F(\omega)$（输入的频域）的映射，$N$ 是输入序列的总数。

3. 量子傅里叶变换（QFT）

与经典DFT类似，QFT是将量子态从Z基变换到X基（Hadamard基），实际上，Hadamard操作就是单量子比特的QFT。QFT对量子态执行DFT操作，是许多其他量子算法（如量子相位估计算法）的子程序。

数学上，QFT变换定义如下：
- $y_j = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} x_k e^{\frac{2\pi i j k}{N}}$
- $|\psi\rangle = \sum_{j = 0}^{N - 1} x_j|j\rangle \xrightarrow{QFT} \sum_{j = 0}^{N - 1} y_j|j\rangle$
其中 $N = 2^n$，$n$ 是量子比特数，令 $\omega = e^{\frac{2\pi i}{N}}$，则完整的QFT计算公式为：$QFT(|\psi\rangle) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} \sum_{k = 0}^{N - 1} x_k \omega^{j k}|j\rangle$

以三量子比特的QFT为例，首先对第一个量子比特应用Hadamard门，然后将后续量子比特作为控制比特，对第一个量子比特应用相对于Bloch球z轴的旋转门（$R_2$ 对应 $\frac{\pi}{2}$ 的z轴旋转，$R_3$ 对应 $\frac{\pi}{4}$ 的z轴旋转），最后应用SWAP门反转量子比特状态的顺序。四量子比特的情况类似，只是旋转门的数量和顺序有所不同。

此外，对于某些算法（如相位估计算法），有时还需要计算逆QFT，其公式为：$QFT^{-1}(|\psi\rangle) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} \sum_{k = 0}^{N - 1} x_k \omega^{-j k}|j\rangle$

4. 使用Silq实现QFT

根据QFT的数学原理，我们可以使用Silq语言实现QFT算法。以下是具体代码：

def QFT[n:!ℕ ](ψ : int[n])mfree: int[n]{
    for k in [0..n div 2){
        (ψ [k],ψ [n-k-1]) := (ψ [n-k-1],ψ [k]);
    }
    for k in [0..n){
        ψ [k] := H(ψ [k]);
        for l in [k+1..n){
            if ψ [l] && ψ [k]{
                phase(2*π  * 2^(k-l-1));
            }
        }
    }
    return ψ ;
}

该代码首先反转量子比特的顺序，然后对每个量子比特应用Hadamard门，并根据后续量子比特的状态进行相位操作，最终实现QFT操作。

以下是QFT实现的步骤总结：
1. 反转量子比特顺序。
2. 对每个量子比特应用Hadamard门。
3. 根据后续量子比特的状态进行相位操作。
4. 返回结果。

可以通过以下链接查看QFT的输出结果：https://github.com/PacktPublishing/Quantum-Computing-with-Silq-Programming/tree/main/Chapter10

5. 相位估计算法

量子相位估计算法利用QFT作为子程序块，用于估计酉算子特征向量的相位（或特征值）。在数学上，如果 $|\psi\rangle$ 是酉算子 $U$ 的特征向量，特征值为 $e^{2\pi i \theta}$，则相位估计算法可以以高概率估计 $\theta$ 的值。

相位估计算法的步骤如下：
1. 将量子态 $|\psi\rangle$ 作为第二个寄存器，将第一个寄存器（辅助寄存器）的 $n$ 个量子比特初始化为 $|0\rangle$ 状态。
2. 对第一个寄存器的 $n$ 个量子比特应用Hadamard门，创建叠加态。
3. 应用受控 - $U$ 门操作，第一个寄存器的 $n$ 个量子比特作为控制比特，第二个寄存器的 $|\psi\rangle$ 状态作为目标比特。
4. 对第一个寄存器的 $n$ 个量子比特应用逆QFT操作。
5. 测量第一个寄存器的 $n$ 个量子比特，得到结果。

6. 使用Silq实现相位估计算法

根据上述步骤，使用Silq语言实现量子相位估计算法的代码如下：

import qft;
def phaseEstimation[k:!ℕ ](
    U:int[k] !->mfree int[k],
    u:int[k], 
    precision:!ℕ ) {
    ancilla := 0:int[precision];
    for i in [0..precision) { ancilla[i] := H(ancilla[i]); }
    for i in [0..precision) { 
        if ancilla[i] {
            for l in [0..2^i) {
                u := U(u);
            }
        }
    }
    ancilla := reverse(QFT[precision])(ancilla);
    result := measure(ancilla);
    measure(u);
    return result;
}

代码首先导入qft模块，然后定义 phaseEstimation 函数，初始化辅助寄存器并应用Hadamard门创建叠加态。根据辅助寄存器的状态多次应用 $U$ 算子，接着对辅助寄存器应用逆QFT操作，最后测量辅助寄存器和 $u$ 状态并返回结果。

可以通过以下链接查看量子相位估计算法的输出结果：https://github.com/PacktPublishing/Quantum-Computing-with-Silq-Programming/tree/main/Chapter10

综上所述，本文介绍了Simon算法、经典DFT、量子QFT以及相位估计算法，并给出了使用Silq语言的实现代码。这些算法在量子计算领域具有重要意义，为解决各种实际问题提供了强大的工具。

量子算法：从Simon算法到量子傅里叶变换与相位估计

7. 算法总结与对比

从表中可以看出，这些算法各有其独特的功能和应用场景，并且相互之间存在着紧密的联系，例如相位估计算法依赖于QFT作为子程序。

8. 算法流程可视化

为了更好地理解这些算法的执行过程，我们可以使用mermaid流程图来进行可视化。

8.1 Simon算法流程图

graph TD;
    A[初始化6个量子比特] --> B[对输入量子比特应用Hadamard门];
    B --> C[在oracle中编码秘密比特串];
    C --> D[再次对输入量子比特应用Hadamard门];
    D --> E[测量d,e,f量子比特];
    E --> F[返回结果];

8.2 相位估计算法流程图

graph TD;
    A[初始化寄存器] --> B[对第一个寄存器应用Hadamard门];
    B --> C[应用受控 - U门操作];
    C --> D[对第一个寄存器应用逆QFT操作];
    D --> E[测量第一个寄存器的量子比特];
    E --> F[返回结果];

通过这些流程图，我们可以更直观地看到算法的执行步骤和顺序，有助于深入理解算法的工作原理。