数论
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Mys_C_K
人生有许多道：曾经踏足的是道，即将踏往的也是道，那什么才是道呢？唯有脚下走的才是道。一切精神或者物质都归于虚无，然后从混沌中衍生出三万道。在悲喜间涉足一条无数前人经历过，且将有无数后人奔赴的道，无论是否已经或者将要到达彼岸，然后便不再回头或是左顾右盼，即使有些道繁盛至极，夜灯如昼，无数人一浪又一浪的涌去，造就了世人皆知的辉煌；即使有些道草木凋敝，荒草丛生，只等勇敢的开拓者斩开荆棘，创造一片天地；这些都无所关，无所在意，彼岸何如、来日何方甚至过往旧事都化作一缕云烟，飘渺碧霄，我自撷高山之月色，独随足落处往行。
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Codeforces Round #410 (Div.2) C.Mike and gcd problem-数学
题目链接：请自行搜索题目大意：给定n个数，每次可以将A_i和A_(i+1)这两个数字修改成A_i - A_(i+1)和A_i + A_(i+1)这两个数字。请问至少要修改多少次才能使得GCD(A1,A2,A3,...,An)>1。特别的，我们认为GCD(0,x)=x,GCD(-a,b)=GCD(a,b)。（即正负不影响）题解：首先如果所有数的gcd>1那么一次都不用修改，直接输出0原创 2017-04-25 14:58:07 · 656 阅读 · 0 评论 -
HDU 6051 If the starlight never fade - 找规律
打个表不难发现fm(i)=m((i,p−1)−1)fm(i)=m((i,p−1)−1)f_m(i)=m((i,p-1)-1)，然后随便反演一下即可。 证明略。#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<assert...原创 2018-08-27 12:49:04 · 287 阅读 · 0 评论 -
function - 扩展欧拉定理
给定函数F(0,m)=m+1,F(n,0)=F(n-1,1),F(n,m)=F(n-1,F(n,m-1))。 多次询问求F(n,m)%p，n,m1e18，p1e9。 题解：首先打表发现F(0,m)=m+1,F(1,m)=n+2,F(2,m)=2m+3,F(3,m)=2^m-3，然后考虑F(>=4,m)，不难发现这玩意是2的2的2的2的…的2次方，当n=4时好像是m+3个2。考虑n=4这个...原创 2018-08-30 17:15:24 · 213 阅读 · 0 评论 -
好的序列 - 莫比乌斯反演 - 杜教筛 - 拉格朗日插值
题目大意：令fk(n)f_k(n)fk(n)表示长度为kkk的序列，每个元素在[1,n][1,n][1,n]，并且gcd\gcdgcd为111的数量。求：∑i=1nfk(i), n≤109,k≤105\sum_{i=1}^n f_k(i),\ \ \ n\le10^9,k\le10^5∑i=1nfk(i), n≤109,...原创 2018-10-21 15:56:37 · 230 阅读 · 0 评论 -
fafa法数 - 莫比乌斯反演 - 数论
要说神仙数论题老爷爷最强无敌（咦怎么这么押韵的说）题目大意：给你L,RL,RL,R，求有多少n∈[L,R]n\in[L,R]n∈[L,R]，满足存在1≤a&lt;b,c≥11\le a&lt;b,c\geq11≤a<b,c≥1，使得n=abcn=ab^cn=abc。1≤L≤R≤8×10161\le L\le R\le 8\times 10^{16}1≤L≤R≤8×10...原创 2018-11-01 17:03:18 · 306 阅读 · 1 评论 -
友好国度 - 数论 - 容斥 - 并查集/LCT
题目大意：给你一颗数，点有点权，问有多少路径，路径上点权的gcd是1.题解：考虑容斥，转为计数是g的倍数的路径。把所有g的倍数的边（边权是两端点权的gcd）拿出来，每次合并两个集合前用两个集合的大小的乘积对ans[g]有贡献。然后并查集即可啥你问我为啥代码看起来像是个LCT？#include&lt;bits/stdc++.h&gt;#define rep(i,a,b) for(in...原创 2018-11-05 12:43:00 · 230 阅读 · 0 评论 -
反函数1 - 数论 - 杜教筛
题目大意：给定n,k,求满足miu(x)=n的第k小的x。k<=1e9。题解：考虑令a,b,c表示1,0,-1的个数，二分答案，设为x，那么a+b+c=x,a+c=∑i=1nμ2(i)=∑i=1n⌊ni2⌋μ(i),a−c=∑i=1nμ(i)\sum_{i=1}^n\mu^2(i)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac n{i^2}\right\rfloor\mu(i...原创 2018-12-02 20:28:48 · 485 阅读 · 0 评论 -
整数拆分 - dp - 拉格朗日插值
神仙题题目大意：定义fm(n)f_m(n)fm(n)为可重集合S的个数，其中S满足S的元素都是m的非负整数次幂，并且S的元素和是n。定义gm1(n)=fm(n),gmk(n)=∑i=0ngmk−1(n)fm(n),k≥2g_m^1(n)=f_m(n),g_m^k(n)=\sum_{i=0}^ng_m^{k-1}(n)f_m(n),k\geq2gm1(n)=fm(n),gmk(n)=∑...原创 2018-11-28 10:02:13 · 409 阅读 · 0 评论 -
青春野狼不做理性小魔女的梦 - 莫比乌斯反演 - 拉格朗日插值 - 杜教筛
题目大意：给定{Ak}\{A_k\}{Ak}（有些位置是-1表示一会要由你决定）。对每个m∈[1,n]m\in[1,n]m∈[1,n]，求有多少方案（将−1-1−1变为[0,m)[0,m)[0,m)之间的整数）使得∑i=1kAixi=1(&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace; m)\sum_{i=1}^kA_ix_i=1(\bmod\ m...原创 2018-12-25 18:06:12 · 394 阅读 · 0 评论 -
简单的数学题 - 数论
题目大意：给定正整数nn，求有多少个整数四元组a,b,c,d∈[0,n−1]a,b,c,d\in [0,n-1]a,b,c,d∈[0,n−1]满足ab=cd(modn)ab=cd\pmod nab=cd(modn)。由于nnn非常大，将以质因数分解的形式给出n=∏i=1mpicin=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}n=∏i=1mpici。m≤5×105,p,c≤109m\le5\...原创 2019-02-25 15:33:14 · 737 阅读 · 0 评论 -
更简单的数学题 - 数论
题目大意：给定n,mn,mn,m，求：∑k≥1[n&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;k+m&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;k≥k]ϕ(k)(mod998244353),n,m≤1018\sum_{k\ge1}[n\bmod k+m\bmod k\ge k]\phi(k)\pmod{998244353}...原创 2019-02-25 15:38:16 · 352 阅读 · 0 评论 -
[集训队作业2018]uoj 448 人类的本质 - 线性筛 - min25筛
题目大意：求∑i=1n∑x1=1i∑x2=1i⋯∑xd=1ilcmj=1d[gcd(xj,i)]\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x_2=1}^i\cdots\sum_{x_d=1}^i\mathrm{lcm}_{j=1}^d[\gcd(x_j,i)]i=1∑nx1=1∑ix2=1∑i⋯xd=1∑ilcmj=1d[gcd(xj,i)]nd≤109n...原创 2019-03-05 08:35:13 · 463 阅读 · 0 评论 -
Mys_C_K的质数集合计数好题 - 数论
定义F(n)为n中不同的质因子个数，求：∑ni=12F(i),n≤1012∑i=1n2F(i),n≤1012\sum_{i=1}^n 2^{F(i)},n\le 10^{12}首先考虑一个O(n23)O(n23)O\left(n^{\frac23}\right)的暴力，即2F(i)2F(i)2^{F(i)}是在枚举i的质因子集合的子集。那么改成枚举这个子集k，那么有恰好⌊nk⌋⌊nk⌋\lef...原创 2018-08-22 20:54:08 · 289 阅读 · 1 评论 -
bzoj 2440 SQF - 莫比乌斯反演
二分答案后随便反演一下即可。#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<climits>#define N 100000#define lint long longusing namespace std;...原创 2018-08-02 15:42:03 · 206 阅读 · 0 评论 -
[SDOI2018] bzoj 5332 & luogu 4619 旧试题 - 数论
出题人“不优秀的三元环枚举也可以通过” 然而我不计算答案只枚举三元环就跑了半分钟…… 觉得如果真的去卡一波或许能过吧或许XD 代码：#include&amp;amp;amp;amp;lt;iostream&amp;amp;amp;amp;gt;#include&amp;amp;amp;amp;lt;cstring&amp;amp;amp;amp;gt;#include&amp;amp;amp;amp;lt;cs原创 2018-05-23 16:25:26 · 728 阅读 · 0 评论 -
[SDOI2016] BZOJ4602 齿轮-dfs-带权并查集-数论逆元-质因数分解
传送门题解：总结几种做法，并指出其中的优劣；主要是两种算法，一种是暴力dfs，另一种是并查集。事实上这种“每条边都考虑”大概都可以用上述两种办法处理，并查集复杂度略高，但是其实近乎线性。暴力dfs就是，建一张无向图（不能是有向的），然后对于每个联通块，第一个元素设为1，然后通过第一个元素，算出其它元素的值，然后对于点x，以及边(x,y)，如果y也访问过了，就判断一下通过原创 2017-05-19 18:24:58 · 592 阅读 · 0 评论 -
BZOJ 1477 青蛙的约会
传送门题目大意自行参考。题解：化一化式子即可。要注意的是ax=b(mod p)中(a,p)=d，那么直接用exgcd求出来的x要对p/d取模。#include#include#include#define lint long longusing namespace std;lint exgcd(lint a,lint b,lint &d,lint &x,lint &y)原创 2017-06-11 12:49:13 · 325 阅读 · 0 评论 -
BZOJ 2296 随机种子
传送门题目大意自行参考题目题解：有种被欺骗的感觉QwQ做法是取n=9876543210*1000000+x-9876543210*1000000%x;对x=0特判-1即可。代码略。原创 2017-06-11 12:51:59 · 415 阅读 · 0 评论 -
[学习笔记] 拓展欧几里得算法
一直对拓展欧几里得算法处于不明觉厉的状态觉得接下来我要好好研究数论，首当其冲的当然就是拓展欧几里得算法啦！题：求ax+by=c的解。b将问题规模变小，令a=kb+d，有(kb+d)x+by=c，亦即b(kx+y)+dx=c。然而发现b比a小，d比b小，所以问题规模变小了。因此有代码：inline int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int原创 2017-07-23 14:07:51 · 355 阅读 · 0 评论 -
BZOJ1409 Password - 矩阵乘法 - 快速幂 - 欧拉定理
传送门题解：由于pq互质所以要求f[n]mod phi(q)。然后f[n]用矩乘计算即可。然后快速幂即可。及说此题卡常需要先预处理出一些质数。#include#include#include#define MAXV 5#define MAXP 1000000#define lint long long#define debug(x) cerr<<x#define sp <原创 2017-08-02 20:15:57 · 581 阅读 · 1 评论 -
codeforces 919 E. Congruence Equation - 数学
我真的是越来越菜了这个初二学生十几行秒掉的我写了几十行 传送门 题目大意：求有多少n满足1p是一个质数，p题解：一开始想到了bsgs，发现不可以。注意到n比较大的时候，系数的n会膜p，指数上的n会%(p-1)。因此n的循环节最大是p*(p-1)。好像没什么用。考虑类似bsgs的过程，设n=t(p-1)+r, 那么a^n=a^r,这时候需要有na^r=b也就是t(p-1)=ba^(-r)-r原创 2018-02-01 19:28:37 · 505 阅读 · 0 评论 -
bzoj 3601 一个人的数论 - 莫比乌斯反演 - 拉格朗日插值 - 高斯消元
题目大意：定义fk(n)=∑1≤i≤n,(i,n)=1ik，求fk(∏wi=1paii)fk(n)=∑1≤i≤n,(i,n)=1ik，求fk(∏i=1wpiai)f_k(n)=\sum_{1\le i\le n,(i,n)=1}i^k，求f_k(\prod_{i=1}^wp_i^{a_i})，其中k≤1e2, w≤1e3k≤1e2, w≤1e3k\le1e2,\ w\le1e3...原创 2018-04-24 22:00:30 · 396 阅读 · 0 评论 -
[学习笔记] 杜教筛 (51nod 1244+1227 +1237 +1238+1239) - 数论
https://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/50500009 很好的讲解51nod1244和51nod1239是求mu和求phi，略//get mu#include&amp;lt;iostream&amp;gt;#include&amp;lt;cstring&amp;gt;#include&amp;lt;cstdio&amp;gt;#in原创 2018-06-25 20:24:59 · 352 阅读 · 0 评论 -
Mys_C_K的数论方程好题
题目大意： 给定两个长为n的数列F和B，求长为n的数列x，使得∀i∈&nbsp;[1,n],∑nj=1F(gcd(i,j))&nbsp;xj=Bi∀i∈&nbsp;[1,n],∑j=1nF(gcd(i,j))&nbsp;xj=Bi\forall i\in\ [1,n],\sum_{j=1}^n F({\mathrm{gcd(i,j)}})\ x_j=B_i在模998244353意义下成立。n≤1...原创 2018-06-27 19:09:44 · 333 阅读 · 0 评论 -
[NOI2016]bzoj 4652 循环之美 - 数论 - 杜教筛
首先题目是在求： ans=∑i=1n∑j=1m[i⊥j][j⊥k]ans=∑i=1n∑j=1m[i⊥j][j⊥k]ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [i\bot j][j\bot k] 注意到j和k互质来得简单，因为k只有2000并且是常数. ans=∑j=1m[j⊥k]∑i=1n[i⊥j]ans=∑j=1m[j⊥k]∑i=1n[i⊥j]ans=\sum_{j=1}...原创 2018-06-27 19:40:14 · 266 阅读 · 0 评论 -
贝尔级数在构造杜教筛卷积中的应用
学了一发贝尔级数 （划掉）人赢（划掉）zzs好强啊，rqy好巨啊 群里神仙讨论……贝尔级数只针对积性函数，如无特殊说明下文函数均为积性函数。 定义f模p的贝尔级数为： fp(x)=∑0≤if(pi)xifp(x)=∑0≤if(pi)xif_p(x)=\sum_{0\le i}f(p^i)x^i 特别的，对于完全积性函数来说： fp(x)=11−f(p)xfp(x)=11−f(p)x...原创 2018-07-23 15:40:08 · 1021 阅读 · 0 评论 -
函树(hs) - 莫比乌斯反演 - 虚树
题目大意：给一颗树，求∑x,yφ(x×y)dist(x,y)\sum_{x,y}\varphi(x\times y)\text{dist}(x,y)∑x,yφ(x×y)dist(x,y)。n≤105n\le10^5n≤105题解：∑x,yφ(x×y)dist(x,y)=∑x,yφ(x)φ(y)gcd(x,y)φ(gcd(x,y))dist(x,y)=∑d=1ndφ(d)∑d∣x,d∣yφ...原创 2019-05-02 19:37:56 · 648 阅读 · 0 评论