简单的数学题 - 数论

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题目大意：给定正整数nn，求有多少个整数四元组 $a,b,c,d∈[0,n−1]a,b,c,d\in [0,n-1]$ 满足 $ab=cd(modn)ab=cd\pmod n$ 。由于 $n$ 非常大，将以质因数分解的形式给出 $n=∏i=1mpicin=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}$ 。 $m≤5×105,p,c≤109m\le5\times 10^5,p,c\le10^9$ 。
题解：由中国剩余定理的结论知我们只需要求出 $n=p^c$ 的答案然后乘起来即可。
考虑这个怎么做，不妨设 $cnti=∑(a,b)[ab&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;n=i]cnt_i=\sum_{(a,b)}[ab\bmod n=i]$ ,那么答案就是 $∑i=0n−1cnti2\sum_{i=0}^{n-1}cnt^2_i$ 。显然 $cnt0=n2−∑i=1n−1cnticnt_0=n^2-\sum_{i=1}^{n-1}cnt_i$ ，考虑某个 $cnt_i(i>0)$ 怎么算。
不妨设 $i=p^kq$ ，满足 $gcd⁡(p,q)=1\gcd(p,q)=1$ 。显然 $0≤k<c,q>00\le k<c,q>0$ 。
那么 $a b = i$ ，等价于 $a=pk′a′,b=pk−k′b′,gcd⁡(a′,p)=gcd⁡(b′,p)=1,a′b′=q(modpc−k)a=p^{k'}a',b=p^{k-k'}b',\gcd(a',p)=\gcd(b',p)=1,a'b'=q\pmod {p^{c-k}}$ ，并且每求出这样的一组 $(a^{'}, b^{'}, k^{'})$ ，都会有 $pk′×pk−k′=pkp^{k'}\times p^{k-k'}=p^k$ 组 $(a, b, k)$ 与之对应，而 $(a^{'}, b^{'}, k^{'})$ 的组数显然就是 $ϕ(pc−k)\phi(p^{c-k})$ ，与 $k^{'}$ 无关，因此对于每个 $k^{'}$ ，答案就是 $pkϕ(pc−k)p^{k}\phi(p^{c-k})$ ，因此 $cnti=(k+1)pkϕ(pc−k)=(k+1)ϕ(pc)cnt_i=(k+1)p^k\phi(p^{c-k})=(k+1)\phi(p^c)$ 。
然后考虑对于每个 $k$ 有多少个 $i$ ，显然就是 $ϕ(pc−k)\phi(p^{c-k})$
首先考虑 $∑i=1n−1cnti2=∑k=0c−1(k+1)2ϕ2(pc)ϕ(pc−k)=ϕ2(pc)(p−1)pc∑k=1ck2(1p)k\sum_{i=1}^{n-1}cnt_i^2=\sum_{k=0}^{c-1}(k+1)^2\phi^2(p^c)\phi(p^{c-k})=\phi^2(p^c)(p-1)p^c\sum_{k=1}^ck^2\left(\frac{1}{p}\right)^k$
后面那个怎么求：
$S2=∑k=1nk2qkS2−n2qn=∑k=2n(k−1)2qk−1qS2−n2qn+1=∑k=2n(k2−2k+1)qkqS2−n2qn+1=∑k=2nk2qk−2∑k=2nkqk+∑k=2nqkqS2−n2qn+1=S2−q+2(S1−q)+S0−qS2=n2qn+1−q+2(S1−q)+S0−qq−1S_2=\sum_{k=1}^n k^2q^k\\ S_2-n^2q^n=\sum_{k=2}^n(k-1)^2q^{k-1}\\ qS_2-n^2q^{n+1}=\sum_{k=2}^n(k^2-2k+1)q^k\\ qS_2-n^2q^{n+1}=\sum_{k=2}^nk^2q^k-2\sum_{k=2}^nkq^k+\sum_{k=2}^nq^k\\ qS_2-n^2q^{n+1}=S_2-q+2(S_1-q)+S_0-q\\ S_2=\frac{n^2q^{n+1}-q+2(S_1-q)+S_0-q}{q-1}$

其中 $S1=∑k=1nkqk,S0=∑k=1nqkS_1=\sum_{k=1}^nkq^k,S_0=\sum_{k=1}^nq^k$ ，求法同理。
剩余还有一个 $cnt_0^2$ ，过程类似，略。

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define mod 1000000007
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
inline int inn()
{
    int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
    x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
inline int inv(int x) { return fast_pow(x,mod-2); }
inline lint squ(int x) { return (lint)x*x; }
inline int solve(int p,int c)
{
    int n=fast_pow(p,c),t=n-fast_pow(p,c-1);if(t<0) t+=mod;
    int q=inv(p),v=fast_pow(q,c),z=inv(q-1),c0=q*(v-1ll)%mod*z%mod;
    int c1=((lint)c*v%mod*q-c0)%mod*z%mod;if(c1<0) c1+=mod;
    int c2=((lint)c*c%mod*v%mod*q%mod-q-2ll*(c1-q)%mod+(lint)q*(c0-v)%mod)*z%mod;if(c2<0) c2+=mod;
    return ((lint)t*t%mod*(p-1)%mod*n%mod*c2+squ((lint)n*n%mod-t*(p-1ll)%mod*n%mod*c1%mod))%mod;
}
int main()
{
    int ans=1;
    for(int T=inn(),p,c;T;T--) p=inn(),c=inn(),ans=(lint)ans*solve(p,c)%mod;
    return !printf("%d\n",ans);
}