贝尔级数在构造杜教筛卷积中的应用

本文介绍了贝尔级数的概念及其在积性函数中的应用,包括如何通过贝尔级数求解特定函数的前缀和等问题,并给出了具体实例解析。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

学了一发贝尔级数
(划掉)人赢(划掉)zzs好强啊,rqy好巨啊
群里神仙讨论……

贝尔级数只针对积性函数,如无特殊说明下文函数均为积性函数。
定义 f\mathrm{f}fp\mathrm{p}p 的贝尔级数为:
fp(x)=∑0≤if(pi)xif_p(x)=\sum_{0\le i}f(p^i)x^ifp(x)=0if(pi)xi
特别的,对于完全积性函数来说:
fp(x)=11−f(p)xf_p(x)=\frac 1 {1-f(p)x}fp(x)=1f(p)x1
例如,ep(x)=1, 1p(x)=11−x, idp(x)=11−px,μp(x)=1−x, (μ2)p(x)=1+x,(id⋅μ)p(x)=1−px, ϕp(x)=1−x1−pxe_p(x)=1,\ 1_p(x)=\frac 1 {1-x},\ id_p(x)=\frac 1 {1-px},\\ \mu_p(x)=1-x,\ (\mu^2)_p(x)=1+x,\\ (id⋅\mu)_p(x)=1-px,\ \phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}ep(x)=1, 1p(x)=1x1, idp(x)=1px1,μp(x)=1x, (μ2)p(x)=1+x,(idμ)p(x)=1px, ϕp(x)=1px1x
额外介绍一个函数 λ(x)=(−1)x中可重复质因子数量\lambda(x)=(-1)^{x中可重复质因子数量}λ(x)=(1)x
显然 λ(x)\lambda(x)λ(x) 完全积性,因此λp(x)=11+x\lambda_p(x)=\frac 1 {1+x}λp(x)=1+x1

结论:(f∗g)p(x)=fp(x)gp(x)(f*g)_p(x)=f_p(x)g_p(x)(fg)p(x)=fp(x)gp(x)
看几个例子:
1.    id∗(μ⋅id)=e1.\ \ \ \ id*(\mu⋅id)=e1.    id(μid)=e
因为
11−px(1−px)=1\frac1{1-px}(1-px)=11px1(1px)=1

2.  μ2∗(id⋅μ)2.\ \ \mu^2*(id⋅\mu)2.  μ2(idμ)的前缀和
这东西的贝尔级数是 (1+x)(1−px)(1+x)(1-px)(1+x)(1px) ,把这东西和 id\mathrm{id}id 卷一卷就是 1+x1+x1+x 也就是 μ2\mu^2μ2
考虑怎么求 μ2\mu^2μ2 的前缀和,这个等价于问 1\text{1}1n\text{n}n 中有多少数字不包含平方质因子,可以用n-n/4-n/9-n/25-n/49…然后多减的加上,以此类推就是莫反,即:∑i=1nμ2(i)=∑i2≤n⌊ni2⌋μ(i)\sum_{i=1}^n\mu^2(i)=\sum_{i^2\le n}\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor\mu(i)i=1nμ2(i)=i2ni2nμ(i)因此可以根号时间内求出,不影响杜教筛复杂度。

3.已知一个积性函数 f\mathrm{f}f ,满足:
f(1)=1,∀prime p, c≥0,f(pc)=pc+(−1)cf(1)=1,\\ \forall \text{prime }p,\ c\geq0, f(p^c)=p^c+(-1)^cf(1)=1,prime p, c0,f(pc)=pc+(1)c
f\mathrm{f}f 的前缀和。
显然
f=id+λ−ef=id+\lambda-ef=id+λe
因此
fp(x)=11−px+11+x−1f_p(x)=\frac1{1-px}+\frac1{1+x}-1fp(x)=1px1+1+x11
把他和 gp(x)=(1−px)(1+x)g_p(x)=(1-px)(1+x)gp(x)=(1px)(1+x)g\mathrm{g}g 卷一卷(显然 g\mathrm{g}g 就是 μ2∗(μ⋅id)\mu^2*(\mu⋅id)μ2(μid) ):
hp(x)=fp(x)gp(x)=1+px2h_p(x)=f_p(x)g_p(x)=1+px^2hp(x)=fp(x)gp(x)=1+px2
因此 hhh 函数是个当 xxx 是完全平方数且 μ(x)=1\mu(\sqrt x)=1μ(x)=1 的时候有 x\sqrt xx 的贡献的函数。
也就是:
∑i=1nh(i)=∑i2≤nμ2(i)×i\sum_{i=1}^nh(i)=\sum_{i^2\le n}\mu^2(i)\times ii=1nh(i)=i2nμ2(i)×i
因此 h\text{h}h 可以根号求,然后 g\mathrm{g}g 像刚刚那样求即可。

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值