[学习笔记]多项式多点求值与多点插值 - 多项式理论 - 学习笔记

下文及代码中所有提及某个函数是以n为界或者是n次的，意思是其最高次项次数$n-1$。
关于求逆，由牛顿迭代：$$\begin{gathered} F=G^{-1} \\ {F}_{n+1}=2F_n-F_n^{2}G \end{gathered}$$
关于多项式取模，A(x)以n为界，B(x)以m为界，需要求C(x)和D(x)，使得C(x)的界是n-m+1，D(x)的界是m-1：
$$\begin{gathered} A(x)=B(x)C(x)+D(x) \\ {x}^{n-1}A\left(\frac{1}{x}\right)=\left(x^{m-1}B\left(\frac{1}{x}\right)\right)\left(x^{n-m}C\left(\frac{1}{x}\right)\right)+x^{n-1}D\left(\frac{1}{x}\right) \end{gathered}$$
注意到$x^{n-1}D\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{mod}{x}^{n-m+1}=0$，因此（设$A^{T_n}(x)$表示将$A(x)$以$n$为界翻转）：
$$\begin{gathered} A^{T_n}(x)=B^{T_m}(x)C^{T_{n-m+1}}(x)(\mathrm{mod}{x}^{n-m+1}) \\ {C}^{T_{n-m+1}}(x)=A^{T_n}(x){\left(B^{T_m}(x)\right)}^{-1} \end{gathered}$$
因此可以求出$C$，再通过一次乘法求出D即可。

多项式多点求值：
现在有一个以$n$为界的多项式$A(x)$，以及$m$个位置$x_1,\dots ,x_m$，求$A(x_1),\dots ,A(x_m)$。
考虑分治，令$L(x)={\prod }_{i=L}^{mid}(x-x_i),R(x)={\prod }_{}$