整数拆分 - dp - 拉格朗日插值

神仙题
题目大意：
定义$f_m(n)$为可重集合S的个数，其中S满足S的元素都是m的非负整数次幂，并且S的元素和是n。
定义$g_m^1(n)=f_m(n),g_m^k(n)={\sum }_{i=0}^n{g}_m^{k-1}(i)f_m(n-i),k\ge 2$，求：${\sum }_{i=0}^n{g}_m(i)$。$n,m\le 10^{18},k\le 20$
题解：
考虑$f_m(n)$其实是，你有$1,m,m^2,m^3,\dots$，用这些数字拼出$n$的方案数，并且这些数字是无序的（即$m$要出现在$1$之后，$m^2$在$m$之后）。

如果要求$g_m^k(n)$，那么其实是，你先将$n$表示成$n={\sum }_{i=1}^k{x}_i$，然后每个$x_i$用$1,m,m^2,m^3,\dots$表示出来，加起来就是，要用：$1,m,m^2,m^3,\dots ,1,m,m^2,m^3,\dots ,1,m,m^2,m^3,\dots ,\dots ,\dots$（总共k段）拼出n，然后拼的时候元素要是无序的（即尽管有些数字的值相同，但是标号是不同的，视为不同的数字，然后要满足标号不减）。

假定现在要求$g_m^k(n)$（一项）。
显然数字顺序不重要，可以重新写成$1,1,1,\dots ,1,m,m,m,\dots ,m,m^2,m^2,m^2,\dots ,m^2,\dots$，每段有k个。

那么考虑一个普及组级别的dp，设$F(i,j)$表示考虑了前i个数字，和为j的方案数。显然有（记第$i$个数字是$a_i$）枚举当前数字用了几个：$F(i,j)={\sum }_{k\ge 0}F(i-1,j-k{a}_i)$。
然后可以注意到，假设我已经算出了$F(i-1)$，那么因为我是重新排列过数字的顺序了，所以之后加入的数字都是$a_i$的倍数，那么第二维模$a_i$的余数就不会变了。最终只关心n，所以$F(i,j)$只关心$j\%a_i=n\%a_i$的那些$j$。

也就是说，若$j$不满足上述条件可以从现在开始不管了。
那么既然余数只关心$n\%a_i$，相当于是个定值，因此现在只需要表示前面的倍数即可，即重新令：
$H(i,j)=F(i,j{a}_i+n\%a_i)$。
其转移可以直接写出：
$$\begin{gathered} H(i,j)=F(i,j{a}_i+n\%a_i)=\sum _{k=0}^{j}F(i-1,(j-k)a_i+n\%a_i)=\sum _{k=0}^{j}F(i-1,k{a}_i+n\%a_i) \\ =\sum _{k=0}^{j}H\left(i-1,k\frac{a_i}{a_{i-1}}+\lfloor \frac{n\%a_i}{a_{i-1}}\rfloor \right) \end{gathered}$$
注意由于{at}\{a_{t}\}{at​}是重新排列过的，因此后面的a是前面的倍数，那么$\frac{a_i}{a_{i-1}}$要么是1，要么是m，总之是个只和i有关的常数，后面的那个也是。
也就是$H(i,j)={\sum }_{k=0}^{j}H(i-1,d_{i}k+r_i)$。
有个结论是，上面那个东西，如果$H(i-1)$是个关于第二维的$t$次多项式，那么$H(i)$是关于第二维的$t+1$次多项式。
（其实你取$d_i=1,c_i=0$，就是经典的“多项式的前缀和还是多项式并且次数加一”）
然后来填一开始的$g$的前缀和的坑。
如果从一开始就理解为，求前缀和是用那些数字拼出一个大小不超过n 的数字s，然后新增$x_{k+1}=n-s$这个数字，其方案数是1，或者说$x_{k+1}$只能使用$1$（而不是$1,m,m^2,m^3,\dots$）来拼成，那么就是用$k+1$个$1$和$k$个$m^i,i>0$拼出n的方案数。

这样每次转移以及最后求答案的时候暴力拉格朗日插值即可。
注意最后要求的是$F(cnt,n)=H\left(cnt,\lfloor \frac{n}{a_{cnt}}\rfloor \right)$

实现的时候要注意小心爆int/longlong之类的。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define mod 1000000007
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=100010,T=3000;
inline int P(int &x) { return x>=mod?x-=mod:x; }
int fac[T],facinv[T];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
inline int sol(int x,int s) { return (s&1)?(x?mod-x:0):x; }
inline int prelude(int n)
{
    fac[0]=1;rep(i,1,n) fac[i]=(lint)fac[i-1]*i%mod;
    facinv[n]=fast_pow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--) facinv[i]=(i+1ll)*facinv[i+1]%mod;
    return 0;
}
struct poly{
    vector<int> f,pre,suf,xs;int n;
    inline int resize(int _n)
    {
        return n=_n+1,f.resize(n),pre.resize(n),suf.resize(n),xs.resize(n),0;
    }
    inline int PRE(int x) { return x<0?1:pre[x]; }
    inline int SUF(int x) { return x>=n?1:suf[x]; }
    inline int getxs()
    {
        rep(i,0,n-1) xs[i]=(lint)f[i]*facinv[i]%mod*facinv[n-1-i]%mod;
        return 0;
    }
    inline int F(lint x)
    {
        int ans=0;if(x<n) return f[(int)x];x%=mod;
        rep(i,0,n-1) pre[i]=PRE(i-1)*(x-i)%mod;
        for(int i=n-1;i>=0;i--) suf[i]=SUF(i+1)*(x-i)%mod;
        rep(i,0,n-1) ans+=sol((lint)xs[i]*PRE(i-1)%mod*SUF(i+1)%mod,n-i-1),P(ans);
        return ans;
    }
}h[T];lint mi[100],a[T];
int main()
{
    lint n,m;int k,cnt=0,t=0;mi[0]=1;cin>>n>>m>>k;
    while(mi[cnt]<=n/m) mi[cnt+1]=mi[cnt]*m,cnt++;
    rep(i,0,cnt) rep(j,1,k) a[++t]=mi[i];
    a[0]=1,prelude(t);
    h[0].resize(0),h[0].f[0]=1,h[0].getxs();
    rep(i,1,t)
    {
        h[i].resize(i);lint r=n%a[i]/a[i-1];
        rep(j,0,i)
            h[i].f[j]=(j?h[i].f[j-1]:0)+h[i-1].F(a[i]/a[i-1]*j+r),P(h[i].f[j]);
        h[i].getxs();
    }
    return !printf("%d\n",h[t].F(n/a[t]));
}