23、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

1. 连续时间资产定价基础

在经济形势不佳时，预期股票溢价往往处于最高水平，同时股票收益率的波动性也呈现出相同的变化模式。这一现象在连续时间模型中有着重要的体现，例如Campbell和Cochrane模型的连续时间版本能够很好地匹配这些实证特性。

连续时间资产定价通常会涉及到微分方程，如方程(132)。目前，大多数模型假定随机贴现因子为仿射形式，这使得常微分方程(132)中的系数也具有仿射性质。研究人员通常能够通过猜测和验证的方法来求解这些模型。不过，Constantinides（1990）是个例外，他找到了封闭形式的解。Menzly等人（2004）通过假设γ = 1且灵敏度函数(56)为仿射形式，也找到了Campbell和Cochrane模型连续时间版本的封闭形式解。

如果要对常微分方程（如方程(132)）的解进行数值近似，可以使用有限差分法和投影法。以下是求解这些方程的一般步骤：
1. 明确方程：确定要解决的常微分方程，如(132)。
2. 选择方法：根据方程的特点和问题的要求，选择有限差分法或投影法。
3. 设定参数：确定方程中的系数和相关参数。
4. 数值计算：使用选定的方法进行数值计算，得到近似解。

2. 多维资产定价模型

解析方法可以扩展到更高维度的连续时间资产定价模型。以Wachter（2002a，2006）对Campbell和Cochrane模型的二维扩展为例，Wachter将消费增长的设定从随机游走(130)改为：
$dc = x dt + σd ω$ (139)
其中，$x$是消费的长期增长率，$dc$是消费的变化量。