22、投资组合决策与资产定价问题：连续时间模型解析

投资组合决策与资产定价问题：连续时间模型解析

1. 投资组合决策中的IVP问题

在投资组合决策中，投资者面临的初始值问题（IVP）（114）是一个非线性偏微分方程（PDE）。为了解决这个问题，可以采用如Bender和Orszag（1999）提出的方法，将非线性PDE分解为无限多个线性PDE，然后递归求解。在这些线性PDE中，原非线性项被替换为前一个线性PDE解的独立函数。IVP（114）的解就是所有这些线性PDE解的总和。

然而，这种方法存在两个数学问题：一是不确定这个总和是否收敛；二是不确定它是否收敛到IVP（114）的真实解。此外，还需要检查条件（119）是否成立，以确保（115）、（116）和（120）中关于μ的积分存在。因此，在完全刻画投资者的IVP（114）之前，仍有大量工作要做。

2. 连续时间资产定价

与离散时间资产定价模型类似，连续时间资产的均衡价格是通过协调所有投资者的最优行为来确定的，使得资产的供求平衡，经济中的所有资源得到合理分配。为了便于处理这个问题，Cox和Huang（1989）等人使用鞅方法来描述资产的定价方式。

2.1 定价核

定价核或随机贴现因子 s 是一个随机过程。对于在每个时刻 s ≥ t 有收益 xs 的证券，其价值 Pt 由下式给出：
[Pt = E_t\left[\int_{t}^{T}\frac{_s}{_t}x_s ds\right]]
其中，T 表示证券的到期日。当且仅当市场是完全的且不存在套利机会时，正的定价核是唯一的；如果市场不完全，则定价核不唯一。

例如，在Duffie和Epstein的随机微分效用模型的最优投资问题（1