21、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

1. 算法迭代与求解方法

在求解投资组合决策和资产定价问题时，某些算法的每次迭代都需要求解一个关于近似函数系数的非线性方程组。以 Judd 等人（2000）提出的算法为例，使用牛顿法对该方程组进行数值求解时，其结果对近似函数系数的初始值非常敏感。

为了解决这一问题，他们采用了 Schmedders（1999）提出的同伦方法来为牛顿法寻找合理的初始值。同伦方法是在每个投资者的最优条件中引入一个边际惩罚项，当同伦参数设为零时，该惩罚项消失。这一过程有助于缓解均衡解可能出现的不连续性问题。在多次运行同伦程序后，再切换回牛顿法以加快收敛速度。当投资者决策的最优条件中的相对误差在给定的容忍范围内时，程序停止。

2. 异质主体模型的求解步骤

求解具有不完全资产市场的异质主体模型应遵循与代表性主体模型相同的五个步骤。但截至目前，尚未有一个异质主体模型能完成所有五个步骤，特别是第三步通常会被绕过。根据对代表性主体模型的研究经验，针对具体示例详细分析均衡的存在性和唯一性，有助于更好地理解模型的均衡情况。在这些具体示例下，第三步更有可能成功。或者，也可以找到足够的关于均衡的信息，从而确定近似误差的边界条件。

3. 连续时间投资组合决策问题

3.1 一般优化问题

在连续时间随机环境下，投资者面临的问题会导致非线性微分方程，而非线性微分方程需要满足初始（终端）条件。目前，只有导致线性微分方程的情况得到了解决，非线性情况的进展甚微。虽然可以使用摄动法对非线性偏微分方程的解进行近似，但这种近似的数学性质尚未得到确立。

我们从 Chow（1997）提出的一般优