洛谷p1063/noip2006能量项链

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为$m\times r\times n$（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设$N=4$，$4$颗珠子的头标记与尾标记依次为$(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$表示第$j,k$两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3）=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数$N(4\le N\le 100)$，表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记$(1\le i\le N)，当1<i<N$时，第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

一个正整数E($E\le 2.1\times 10^9$ )，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 5 10

输出样例#1：

710
区间$dp$模板题，记$f[i][len]为得到以i开头，长度为len的项链的最大能量$
$k=i+len-1$,枚举中间点$j$,可以得到转移方程
$f[i][len]=max(f[i][j-i]+f[j][len-(j-i)]+a[i]\ast a[j]\ast a[k+1])$
下面贴代码

//f[i][len] = max(f[i][j-i] + f[j][len-(j-i)] + a[i]*a[j]*a[k+1]
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
int f[105][105], a[105];
int main(){
	int i, j, n, m, len, k;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), a[i+n] = a[i];
	for(len = 2; len <= n; len++){
		for(i = 1; i <= n; i++){
			k = i + len - 1;
			for(j = i + 1; j <= k; j++){
				f[i][len] = max(f[i][len], f[i][j-i] + f[(j-1)%n+1][len-(j-i)] + a[i]*a[j]*a[k+1]);
			}
		}
	}
	for(i = 1; i <= n; i++) f[0][0] = max(f[0][0], f[i][n]);
	printf("%d", f[0][0]);
	return 0;
}