快速幂运算详解

简介

快速幂很重要哦，当幂是$longlong$级别时（这也要用latex我是不是疯了 ），用快速幂可以将复杂度降到log级别。快速幂的重要应用就是求逆元啦（我只知道这个），下面简单介绍一下求逆元的原理。
由费马小定理：
$a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ($p$是素数且$(a,p)=1$)
于是就有
$a^{p-2}\equiv a^{-1}(modp)$
然后快速幂就可以求$amodp意义下的逆元a^{-1}$了(当然$p$要是素数）

好了进入正题

怎么求 $a=b^p(modk)$呢？
既然复杂度是log级别了，自然是把p拆成二进制啦,其实就是处理出$b^1,b^2,b^4,b^8,b^{16}...$,然后找机会相乘一下就得了

举个例子

要求$3^5,p=5,p=2^2+2^0$, 也就是求$3^{2^0+2^2}$,即是$3^1\ast 3^4,$$p$用二进制表示成$101$，我们从最右边开始扫，每次右移一位，遇到第$x$位为$1$的时候就乘上$b^{2^x}$, 至于$b^{2^x}$,每次右移的时候让$b$乘自己就可以了。
在这个例子中
$ans=1,b=3^1=3,此时p第0位为1，于是ans=ans\ast b,ans=3,b=3\ast 3=3^2=9$;
$ans=3,b=3^2=9,此时p第1位为0，ans=3,b=9\ast 9=3^4=81$
$ans=3,b=3^4=81,此时p第2位为1，ans=ans\ast b,ans=243$
懂吧，因为$5=1+4$，我们处理得到了$3^1,3^2,3^4,3^8...$，该相乘的时候相乘就行了。
下面贴代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
LL ksm(LL b, LL p, LL k){
	LL s = 1;
	while(p){
		if(p & 1) s = s * b % k;
		b = b * b % k;
		p >>= 1;
	}
	return s % k;
}
int main(){
	int i, j, n, m;
	LL b, p, k;
	scanf("%lld%lld%lld", &b, &p, &k);
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", b, p, k, ksm(b, p, k));
	return 0;
}