30、加速亏格2超椭圆曲线配对计算的方法与分析

加速亏格2超椭圆曲线配对计算的方法与分析

亏格2曲线雅可比矩阵ℓ - 挠子群生成元算法

在寻找亏格2曲线雅可比矩阵$JC[\ell]$的生成元时，我们可以将算法22和算法23结合起来，得到算法24。该算法的输入包括雅可比矩阵$JC \in J(\ell, q, k, \tau_k)$、数字$\ell$、$q$、$k$和$\tau_k$、$JC$相对于$\ell$的完全嵌入度$k_0$以及一个自然数$n$，输出为$JC[\ell]$的一组基或者“失败”。具体步骤如下：
1. 如果$\ell$不整除$\tau_k$，则以$(JC, \ell, q, k, \tau_k, k_0, n)$为输入运行算法22。
2. 如果$\ell$整除$\tau_k$，则以$(JC, \ell, q, k, \tau_k, k_0, n)$为输入运行算法23。

定理25表明，对于具有相对于$\ell$的完全嵌入度$k_0$的$J(\ell, q, k, \tau_k)$ - 雅可比矩阵$JC$，算法24以至少$(1 - 1/\ell^n)^2$的概率输出$JC[\ell]$的生成元。并且，算法24预计在$\mathbb{F}_q$中执行$O(\log \ell \log \frac{q^{k_0} - 1}{\ell} k_0^3 \log k_0 \log q)$次域运算（忽略$\log \log q$因子）。

下面是对算法24复杂度的证明：
1. 随机点选择与点的倍数计算 ：在$JC(\mathbb{F} {q^a})$上选择一个随机点需要$O(a \log q)$次$\mathbb{F} {q^a}$中的域