32、加速亏格 2 超椭圆曲线配对计算

加速亏格 2 超椭圆曲线配对计算

1. 引言

在密码学中，超椭圆曲线的配对计算是一个重要的研究领域。本文将介绍如何加速亏格 2 超椭圆曲线的 Tate 配对计算，通过使用新的坐标系统、退化除子和分母消除技术等方法，提高计算效率。

2. 新公式推导与应用

通过推导新的混合加法和倍点公式，在新坐标系统下，对于曲线 (C_2^*) ：(y^2 = x^5 + 9x) ，可以分别以 (36M + 5S) 和 (32M + 6S) 的代价计算除子类的加法和倍点，其中 (M) 表示乘法，(S) 表示平方。

3. 使用退化除子和分母消除

对于亏格 (g > 1) 的超椭圆曲线，在评估线函数时，使用退化除子作为像除子比使用一般除子更高效。
- 定义二次扭转曲线 ：当考虑 (C_2^ ) 作为定义在 (F_{p^2}) 上的曲线时，定义其二次扭转曲线 (C_{2,t}^ ) ：(y^2 = x^5 + 9c^4x) ，其中 (c \in F_{p^2}) 是 (F_{p^2}) 上的二次非剩余。
- 生成退化除子类 ：首先在扭转曲线 (C_{2,t}^ /F_{p^2}) 上生成退化除子类 (D_t = [x - x_t, y_t] \in J_{C_{2,t}^ }(F_{p^2})) ，然后通过同构映射 (\varphi) 将其映射到曲线 (C_2^ ) 上的退化除子类 (D_2 = \varphi(D_t) = [x - c^{-1}x_t, c^{-5/2}y_t] \in J_{C_2^